Автор не указан. Физика: формулы и определения: Шпаргалка

Подождите немного. Документ загружается.

58.СКОРОСТЬГАРМОНИЧЕСКОГО

КОЛЕБАНИЯ

Для определения скорости гармоническо-

го колебания (СГК) используем проекцию

линейной скорости равномерного враще-

ния точки по окружности радиуса А. Проек-

ция скорости V

точки М, вращающейся

против часовой стрелки, на ось ОХ равна

численному значению скорости V колеба-

ния точки С вдоль этой оси (см. рис.):

V = –V

sin j.

Но при r = А получим V

= w A, а фаза j = wt.

Следовательно, V = –w Asin wt.

Знак «минус» в этом уравнении указывает

на то, что при изменении фазы колебания j

точки М от 0 до p ее скорость V направлена

против положительного направления оси

ОХ, а при значениях j от p до 2p — вдоль ОХ.

Если рассматривается колебание с на-

чальной фазой j

, тогда уравнение для

численного значения СГК можно записать

в виде

V = –w Asin(wt + j

)

или

V = w Acos (wt + j

+ p/2).

Знак «минус» здесь означает, что скорость

опережает смещение на p/2. Когда смеще-

ние максимально, скорость колеблющейся

точки равна нулю, и наоборот: когда сме-

щение равно нулю, скорость максимальна.

Итак, численное значение СГК изменяется

во времени по синусоидальному закону.

Тогда для максимальной скорости получим

max

= w A.

59.КОЛЕБАНИЯГРУЗАНАПРУЖИНЕ

�

упр

�

Пружинный маятник представ-

ляет собой груз массой m, подве-

шенный на пружине (см. рис.).

В положении равновесия на

груз действует сила тяжести Р и

уравновешивающая ее упругая

сила F

yпр

со стороны растянутой

пружины.

Если сместить груз вниз на некоторое рас-

стояние в пределах упругой деформации

пружины, то в этом положении на груз дей-

ствует упругая сила F

yпp

> P, а равнодейству-

ющая F имеет направление вверх к положе-

нию равновесия, увеличивая скорость.

В положении равновесия равнодейству-

ющая сил упругости и тяжести равна нулю,

но груз в этом положении не останавливает-

ся, а продолжает двигаться вверх. Двигаясь

замедленно, груз останавливается и начинает

ускоренное движение в обратном направле-

нии, т.е. вниз к положению равновесия. Пос-

ле прохождения равновесия груз продолжает

двигаться вниз и достигает первоначального

смещения. Итак, совершено одно полное

колебание.

От начала движения груза прошло время,

равное периоду колебания Т. В следующие

моменты времени процесс колебательного

движения груза периодически повторяется.

60.ПРУЖИННЫЙМАЯТНИК

Результирующая сил упругости и тяжести

равна F = –Kx, где K — коэф. жесткости пру-

жины, х — значение смещения маятника.

По второму закону Ньютона

= ,

где m —

масса пружинного маятника, а — ускоре-

ние маятника.

Решив совместно эти уравнения, получим

численное значение ускорения колебания

пружинного маятника

x= .

Сравнивая эту формулу с выражением

ускорения, имеем

ω=

Это циклическая частота колебания пру-

жинного маятника.

Колебания системы, представленной са-

мой себе (при отсутствии сил сопротивле-

ния), называют свободными колебаниями.

Циклическая частота свободных колебаний

называется собственной частотой системы.

Теперь можно определить период соб-

ственных колебаний пружинного маятника:

= 2π .

61.МАТЕМАТИЧЕСКИЙМАЯТНИК

Математический маятник (ММ) — это ма-

териальная точка, подвешенная на невесо-

мой и нерастяжимой нити.

Возвращающей силой для ММ является

составляющая его силы тяжести, равная P

= P sin α = mgsin α (см. рис.). При малых

углах отклонения

sin.α≈

�

Учитывая, что направления смещения и

возвращающей силы противоположны,

получим

=− ,

где х — смещение ММ от положения рав-

новесия.

Поскольку эта сила сообщает точке ускоре-

ние, то можно применить второй закон Нью-

тона. Обозначим F = P

тогда

ma mg

=− .

Из этого уравнения численное значение

ускорения колебания ММ

x=− .

Знак «минус» здесь означает, что возвра-

щающая сила P

и вызываемое ею ускоре-

ние направлены противоположно смеще-

нию точки от положения равновесия.

Полученное значение ускорения сопоста-

вим с формулой ускорения, тогда собствен-

ная циклическая частота ММ будет

ω=

Приравнивая значения циклической час-

тоты, получаем выражение для периода

собственных колебаний ММ:

= 2π .

62.ЭНЕРГИЯГАРМОНИЧЕСКИХКОЛЕБАНИЙ

В процессе колебания происходит пре-

вращение кинетической энергии (КЭ) в

потенциальную (ПЭ) и наоборот, но пол-

ная механическая энергия замкнутой сис-

темы должна оставаться неизменной.

Найдем выражение полной энергии.

В формулу КЭ подставим значение мгно-

венной скорости гармонического колеба-

ния (ГК), получим формулу для КЭ ГК:

=+=+

ωϕ ωϕ

sin( )sin ().

Используя формулы ПЭ при действии

упругих сил и для смещения, получим фор-

мулу для ПЭ ГК:

cos( ).ωϕ

Полная энергия колебательной системы

равна сумме КЭ и ПЭ в данный момент вре

мени. Складывая уравнения КЭ и ПЭ, по-

лучаем выражение для полной энергии ко-

лебательной системы:

=+++=

[sin ()cos( )] .ωϕ ωϕ

Итак, полная энергия системы, совершаю

щей ГК, пропорциональна квадрату амплиту

ды колебания и не зависит от времени. С уве

личением КЭ системы уменьшается ее ПЭ,

и наоборот, но сумма КЭ и ПЭ в любой мо

мент времени остается постоянной.

Колебания, которые совершает тело око-

ло устойчивого равновесия после того, как

оно было выведено из состояния равнове-

сия, — собственные колебания.

Если на колеблющееся тело действует

внешняя сила с частотой n, то такие коле-

бания называют вынужденными. В этом

случае колебания происходят с частотой

действия внешней силы.

Если частота действия внешней силы сов-

падает с собственной частотой колеблющей-

ся системы n

= n, то амплитуда колебаний

достигает наибольшего значения (см. рис.).

Это явление называют резонансом.

63.ВОЛНЫ

Если в каком-либо месте упругой (твер-

дой, жидкой и газообразной) среды возбу-

дить колебания ее частиц, то вследствие

взаимодействия между частицами это ко-

лебание начнет распространяться в среде

от частицы к частице с некоторой скоро-

стью. Процесс распространения колебаний

в среде — волна или волновой процесс.

Если взаимосвязь между частицами среды

осуществляется силами упругости, возника-

ющими вследствие деформации среды при

передаче колебаний, то волны называются

упругими (звуковые, ультразвуковые, сейс-

мические и др.). У волн, наблюдаемых на

поверхности жидкости (поверхностных

волн), взаимосвязь между соседними эле-

ментами поверхности жидкости при переда-

че колебаний осуществляется силами поверх-

ностного натяжения и тяжести.

В продольной волне частицы среды колеб-

лются вдоль направления распространения

волны, в поперечной — в направлениях, пер-

пендикулярных к направлению распростра-

нению волны. В жидких и газообразных

средах возможно возникновение только

продольных волн, в твердой — как продоль-

ных, так и поперечных.

64.ДЛИНАВОЛНЫ

Скорость передачи колебательного дви-

жения от частицы к частице обуславливает

скорость распространения волн. Расстоя-

ние, на которое распространяются колеба-

ния в среде за время, равное одному перио-

ду колебаний, называется длиной волны λ.

Т.к. волны распространяются равномер-

но, то скорость волны V есть расстояние, на

которое распространяются волны за секун-

ду. В формуле скорости примем S = λ, t = T,

получим

λν.

Не следует путать скорость волны со ско-

ростью колебаний точек упругой среды, в

которой волна распространяется. Скорость

волны — это скорость перемещения формы

возмущенной среды, т.е. гребня или впади-

ны, сгущения или разрежения.

Длину волны λ можно выразить через

скорость и период совершенно так же, как

выражается путь равномерного движения:

λ = VT.

Частицы, отстоящие друг от друга на рас-

стоянии длины волны λ, колеблются в

одинаковой фазе. Значит, расстояние меж-

ду ближайшими частицами, колеблющи-

мися одинаковым образом (в одинаковой

фазе), и есть длина волны.

65.УРАВНЕНИЕВОЛНЫ

Пусть в точке среды с координатой х = 0

происходит гармоническое колебательное

движение с частотой w. Отклонение от со-

стояния равновесия (смещение S) в рас-

сматриваемой точке описывается в момент t

уравнением, выраженным через косинус

или через синус угла. Принимая х = S, полу-

чим: S = Asin wt, где А — амплитуда колеба-

ний.

Это колебательное движение передается

вдоль оси Х со скоростью V. Следовательно,

в точку х оно переместится в соответствии

с уравнением при S

= 0 спустя время

τ=

Колебательное движение в тот же момент

времени t в точке х будет отставать по фазе

от колебательного движения в точке х = 0

на t. Тогда смещение точки в момент t

SA tAt

=−=−













sin( )sin .ωτ ω

Это соотношение обычно и называют

уравнением волны, идущей в сторону поло-

жительных значений координаты х.

Уравнению плоской волны можно при-

дать еще и следующие виды:

SA t

xA t

=−













=−













sinsin

sin

π2

ωω

tx−













Введя обозначение

K =

2π

получим S =

= Asin(wt – Kx).

Величину К называют волновым числом.

Оно показывает, сколько длин волн укла-

дывается на отрезке длиной 2p метров. Ве-

личину (wt – Kx) называют фазой волны.

66.ЗВУКОВЫЕВОЛНЫ.СКОРОСТЬЗВУКА

Звук — колебательное движение частиц

упругой среды, распространяющееся в ней

в виде волн, возбуждаемых источником

колебаний. Специфическое ощущение зву-

ка возникает у человека, когда на его орган

слуха (уши) воздействуют волны с частотой

примерно от 16 до 20 000 Гц, которые обыч-

но называют звуковыми. Волны с частотой

меньше 16 Гц — инфразвуковые, а с часто-

той более 20 000 Гц — ультразвуковые.

Установлено, что скорость распростране-

ния импульса сжатия в сплошной однород-

ной упругой среде определяется отношени-

ем изменения давления к изменению плот-

ной среды:

∆

∆ρ

где DР — изменение давления, Dr — изме-

нение плотности.

Преобразуя эту формулу, можно получить

выражение для скорости звука в воздухе:

PRT

==ψ

где Р — давление воздуха, r — плотность

воздуха, y — отношение теплоемкостей

при постоянном давлении и объеме, R —

универсальная газовая постоянная, m —

молярная масса газа, Т — температура.

Скорость звука в жидкостях можно опре-

делить, воспользовавшись формулой

где Е

— модуль объемной упругости жид-

кости, r — ее плотность.

Скорость звука в твердых телах определя-

ется по формуле

где Е — модуль Юнга.

67.ИЗЛУЧЕНИЕ.ОБЪЕМНАЯПЛОТНОСТЬ

ЭНЕРГИИ

Излучение — передача энергии от источ-

ника колебаний частицам окружающей

среды в виде кинетической энергии коле-

бательного движения частиц и периодичес-

кого превращения ее в потенциальную

энергию упруго деформированной среды.

Объемная плотность энергии. В некотором

объеме V упругой среды, в которой распро-

страняется волна, имеется средняя энер-

гия, пропорциональная произведению

массы среды на квадрат амплитуды и квад-

рат циклической частоты колебаний час-

тиц среды:

WmA=

ω .

Объемная плотность энергии волны есть

энергия волны в единице объема среды:

==ρω,

где r — плотность среды.

68.ЧАСТОТА,ВЫСОТА,ИНТЕНСИВНОСТЬ

ИГРОМКОСТЬЗВУКА

Частота измеряется числом колебаний в

секунду частиц среды, участвующих в волно-

вом процессе. Всякий реальный звук — нало-

жение гармонических колебаний с опреде-

ленным набором частот (акустическим спек-

тром). Если в звуке присутствуют колебания

всех частот, то спектр сплошной. Если звук

состоит из отдельных частот, разделенных

интервалами, то спектр линейчатый.

Высота — это качество звука, определя-

емое человеком субъективно на слух и за-

висящее от частоты звука. Чем больше час-

тота, тем выше звук.

Количество энергии, переносимой звуко-

вой волной за 1 с через перпендикулярно

расположенную площадку в 1 м

, называют

интенсивностью звука













Вт

где W —

энергия волны.

Громкость — субъективная характеристи-

ка звука, связанная с его интенсивностью.

Интенсивность звука и громкость взаимо-

связаны, т.к. с увеличением интенсивности

звука возрастает и громкость. Энергия (и ин-

тенсивность) звука пропорциональна квад-

рату амплитуды колебаний частиц и частоте

звука. Амплитудой и частотой колебаний

определяется громкость звука.

69.ЗАКОНПАСКАЛЯ.ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ

ПРЕСС

Давлением на данной участок поверхнос-

ти называют величину, измеряемую отно-

шением силы давления, действующую на

данный участок, к площади этого участка:

===













1Н

1м

Па

11.

Закон Паскаля для жидкостей и газов:

жидкость (или газ), находящаяся в закры

том сосуде, передает производимое на нее

давление во все стороны равномерно.

На принципе закона Паскаля основано

действие гидравлического пресса (см. рис.).

Он состоит из цилиндра с поршнем боль-

шой площади S

, соединенного трубой с

насосом, поршень которого имеет малую

площадь S

. Объем цилиндров под порш-

нями и труба заполнены жидкостью. На

малый поршень насоса действует сила F

создающая в жидкости давление Р

. Это

давление по закону Паскаля передается

жидкостью большему поршню. При этом

больший поршень большего цилиндра пе-

ремещается вверх.

Согласно закону Паскаля, Р

= Р

, следо-

вательно:

==или.

На сжимаемое тело, помещенное между

поршнем и опорной плоскостью, действует

сила F

Итак, сила F

, сжимающая тело, во столь-

ко раз больше силы, действующей на ма-

лый поршень насоса, во сколько раз пло-

щадь поршня, сжимающего тело, больше

площади поршня в насосе.

Прессуемое тело

Труба

70.ЗОЛОТОЕПРАВИЛОМЕХАНИКИ

Перемещение поршня в насосе на неко-

торое расстояние А приводит к уменьше-

нию объема жидкости в малом цилиндре и

увеличению в большом цилиндре, т.е.

= DV

или S

= S

тогда

= .

Получаем

= .

Итак, выигрывая в силе, во столько же раз

проигрываем в пути, пройденном поршнем в

насосе. Это положение называется «золо-

тым правилом» механики.