Аполлонский С.М. Учебное пособие. Трехфазные электрические цепи

Рис.27

Рис.28

I

ca

= 200 (-0,5 + j 0,866) / (30 – j 40) = -3,97 + j 0,48, A.

Модули фазных токов:

I

ав

=

22

2,34,2 + = 4 А;

I

вс

=

22

368,357,1 + = 4 А; I

са

=

22

48,097,3 + = 4 А.

Комплексные значения линейных токов:

I

A

= I

aв

- I

сa

= (2,4 + j 3,2) – (-3,97 + j 0,48) = 6,37 + j 2,72 A;

I

B

= I

вc

- I

aв

= (1,57 - j 3,68) – (-2,4 + j 3,2) = -0,83 + j 6,88 A;

I

С

= I

cа

- I

вс

= (-3,97 + j 0,48) – (1,57 - j 3,68) = -5,54 + j 4,2 A;

Модули линейных токов:

I

A

=

22

72,237,6 + = 6,92 A;

I

В

=

22

88,683,0 + = 6,92 A; I

С

=

22

2,454,5 + = 6,92 A;

Векторная диаграмма фазных и линейных токов и напряжений приведена

на рис.28,в.

Комплексная мощность фаз потребителя:

S

ав

= U

ав

= 200 (2,4 – j 3,2) = 480 – j 640, B⋅A;

*

aв

I

S

вc

= U

вc

= (-100 - j 173) (1,57 + j 3,68) = 480 – j 640, B⋅A;

*

вс

I

S

cа

= U

cа

= (-100 + j 173) (-3,97 - j 0,48) = 480 – j 640, B⋅A.

*

са

I

Таким образом, активная мощность фазы

Р

ф

= 480 Вт; реактивная

мощность

Q

ф

= -640 вар (имеет емкостной характер).

Комплексная мощность трехфазного потребителя равна сумме

комплексных мощностей фаз:

S = S

ав

+ S

вc

+ S

cа

. Подставив их значения и

выполнив преобразования, получим

S = 1440 – j 1920, B⋅A.

Полученный результат показывает:

- активная мощность трехфазного потребителя

Р = 1440 Вт ,

- реактивная мощность трехфазного потребителя

Q = -1920 вар и имеет

емкостной характер о чем свидетельствует знак минус.

Полная мощность трехфазного симметричного потребителя

S = 240019201440

2222

=+=+ QP B⋅A.

Допустим, что в фазе

″ав″ трехфазного потребителя произошел обрыв

провода. Расчетная схема, соответствующая этому варианту, приведена на

рис.29,а.

Комплексные токи фаз

″вс″ и ″са″ останутся такими же, что и в

симметричном режиме. Причина этого заключается в постоянстве напряжения

и сопротивлений фаз. Значения токов определены выше:

I

вс

= 1,57 – j 3,68 А,

I

cа

= -3,97 + j 0,48 А. Модули токов I

вс

= 4 А , I = 4 А.

Комплексные значения линейных токов определяются по уравнениям

первого закона Кирхгофа, составленного для узлов

″а″ , ″в″ и ″с″ схемы

(рис.15,а ):

I

A

= - I

са

= 3,97 – j 0,48 A; I

B

= - I

вс

= 1,57 – j 3,68 A;

I

С

= - I

са

- I

вс

= -5,54 + j 4,16 A.

Рис.29

Векторная диаграмма, соответствующая режиму обрыва провода фазы

″ав″, показана на рис.29,б.

Комплексные мощности

фаз: S

ав

= 0, В⋅А ;

S

вc

= U

вc

= (-100 - j 173) (1,57 + j 3,68) = 480 – j 640, B⋅A;

*

вс

I

S

cа

= U

cа

= (-100 + j 173) (-3,97 - j 0,48) = 480 – j 640, B⋅A.

*

са

I

Комплексная мощность трехфазного потребителя

S = S

ав

+ S

вc

+ S

cа

= 960 – j1280, B⋅А.

В результате расчета получаем:

- активная мощность

потребителя Р = 960 Вт;

- реактивная мощность потребителя

Q = -1280 вар;

- полная мощность потребителя

S = 1568,2 B⋅А.

4. Симметричные составляющие трехфазных систем

4.1. Обобщенные понятия о симметричных трехфазных системах

Симметричная трехфазная система синусоидальных величин - это

совокупность трех величин с одинаковыми максимальными значениями и

сдвинутыми по фазе на равные углы -

0

120

⋅

n . При 1

=

n можно говорить о

системе с прямой последовательностью фаз (прямой системой), так как

очередность следования отдельных величин во времени в ней соответствует

алфавитному порядку обозначений этих величин. При буквенном обозначении

величин прямой системы применяют дополнительный цифровой индекс 1. При

можно говорить о системе с обратной последовательностью фаз

(обратной системой). Ее величины снабжают индексом 2. При

отдельные

величины совпадают друг с другом по фазе. Такую систему называют системой

с нулевой последовательностью фаз (нулевой системой). Ее величины

снабжают индексом 0 (рис.30).

2

=n

n = 0

Если к нулевой системе, как правило, обращаются только при

теоретических исследованиях трехфазных цепей, то с обратной системой мы

нередко сталкиваемся на практике или при аварийных режимах трехфазных

цепей, например при ошибочной маркировке фаз в реальных трехфазных сетях,

в которых нормально должна существовать прямая система напряжений. В

частности, обратная система напряжений или ЭДС может легко быть получена

в трехфазной сети или генераторе путем взаимной перестановки буквенных

обозначений любой пары фаз.

Рис.30

Различные приемники по-разному реагируют на изменение порядка

следования фаз питающего напряжения, и если режим работы одних

приемников, например, трехфазных электрических нагревателей,

соединенных звездой с нейтральным проводом, протекает совершенно

одинаково при питании любой из трех упомянутых систем, то другие

приемники меняют свой режим работы при изменении порядка следования

фаз.

В частности, трехфазные электродвигатели вовсе не будут работать от

нулевой системы напряжений (в двигателе не образуется вращающегося

магнитного поля) и изменяют направление вращения при переходе от прямой

системы к обратной (изменяется направление вращения магнитного поля).

Следует дополнительно отметить, что совокупность векторов прямой или

обратной системы образует рисунок с центральной симметрией, в

то время

как по отношению к совокупности векторов нулевой системы можно

говорить лишь о плоскостной симметрии (все три вектора расположены

параллельно друг другу). Вследствие этого нулевая система не удовлетворяет

привычному для симметричных трехфазных систем условию равенства нулю

суммы составляющих ее величин:

0

=

∑

k

u ; 0

=

∑

k

U ; 0

=

∑

k

U ,

справедливому как для прямой, так и для обратной систем.

4.2. Разложение несимметричной системы

на симметричные составляющие

В основе метода симметричных составляющих лежит возможность

разложения любой несимметричной системы синусоидальных величин на

три симметричные системы - прямую, обратную и нулевую. Покажем эту

возможность на примере произвольной системы трех синусоидальных

величин

, изображающейся системой векторов

CBA

uuu ,,

A

U ,

B

U ,

C

U

(рис.31).

Представим себе каждый из названных векторов состоящим из трех

слагаемых:

A

U =

0A

U +

1A

U +

2A

U ;

B

U =

0B

U +

1B

U +

2B

U

r

;

C

U = +

0C

U

r

1C

U +

2C

U .

Рис.31

Естественно, что предлагаемое разложение можно выполнить

бесчисленным множеством вариантов. Однако наложим на это разложение

несколько дополнительных условий, а именно, чтобы система векторов

0A

U ,

0B

U , представляла собой нулевую симметричную систему, векторы

0C

U

r

1A

U ,

1B

U ,

1C

U образовали бы собой прямую симметричную систему, а векторы

2A

U ,

,

2B

U

r

2C

U в совокупности составили обратную симметричную систему.

Переходя от оперирования векторами к их записи комплексными

числами, предыдущую систему можно представить в виде

A

U

&

= + + ; = + + ; = + + .

0A

U

&

1A

U

&

2A

U

&

B

U

&

0B

U

&

1B

U

&

2B

U

&

C

U

&

0C

U

&

1C

U

&

2C

U

&

Добавим к ней два равенства:

= и = , выражающих мысль о

том, что система векторов

0B

U

&

0A

U

&

0C

U

&

0A

U

&

0A

U ,

0B

U ,

0C

U

r

представляет собой нулевую систему

(все три вектора и, следовательно, все три изображающих их комплексных

числа должны быть равны друг другу).

Обращаясь к оператору трехфазной системы

b, условие принадлежности

трех векторов

1A

U ,

1B

U ,

1C

U к прямой симметричной системе можно записать в

виде

1B

U

&

= ; = .

1A

U

&

b

1C

U

&

1A

U

&

2

b

Вектор

1B

U получается из вектора

1A

U путем поворота последнего на

120

в отрицательную сторону, а вектор

0

1C

U - в результате поворота вектора

U

A1

на тот же угол в противоположную сторону.

Условие того, чтобы три вектора

2A

U ,

2B

U

r

,

2C

U составили обратную

симметричную систему, выльется еще в два равенства:

2B

U

&

= , = .

2A

U

&

2

b

2C

U

&

2A

U

&

b

Таким образом, девять введенных векторов, в конечном счете, связаны

девятью уравнениями. Это означает, что предпринятое разложение заданной

несимметричной системы векторов

A

U ,

B

U ,

C

U возможно, и при том

единственным образом, т.е. каждая несимметричная система векторов может

быть представлена только одной комбинацией трех симметричных систем.

4.3. Формулы разложения

Несимметричной системы на симметричные составляющие получим,

решив приведенную выше систему из девяти уравнений относительно

комплексов введенных векторов. Для этого, прежде всего, подставим шесть

величин, определяемых последними равенствами, в три первых уравнения:

A

U

&

= + + ; = + + ; = + + .

0A

U

&

1A

U

&

2A

U

&

B

U

&

0A

U

&

1A

U

&

b

2A

U

&

2

b

C

U

&

0A

U

&

1A

U

&

2

b

2A

U

&

b

Сложив три уравнения полученной системы,

получим

A

U

&

+ + = 3 + (1 + b + ) + (1 + b + ),

B

U

&

C

U

&

0A

U

&

1A

U

&

2

b

2A

U

&

2

b

откуда, вспоминая ,что (1 +

b + ) = 0 , имеем

2

b

=

0A

U

&

1

3

( + + ) .

(22)

A

U

&

B

U

&

C

U

&

Умножив второе уравнение приведенной выше системы на

, а третье

на

, получим новую систему

2

b

A

U

&

= + + ; = + + ;

0A

U

&

1A

U

&

2A

U

&

B

U

&

2

b

0A

U

&

2

b

1A

U

&

3

b

2A

U

&

4

b

C

U

&

b = + + ,

0A

U

&

b

1A

U

&

3

b

2A

U

&

2

b

сложение уравнений которой приводит к равенству

A

U

&

+ + = (1 + +b ) + (1 + + ) + (1 + + ) .

B

U

&

2

b

C

U

&

b

0A

U

&

2

b

1A

U

&

3

b

3

b

2A

U

&

4

b

2

b

Принимая во внимание, что

= , а = 1, а также ранее упомянутое

условие 1 +

b + = 0 , из этого равенства нетрудно получить [2,4]:

4

b b

3

b

2

b

=

1A

U

&

1

3

( + + ) . (23)

A

U

&

B

U

&

2

b

C

U

&

b

Применяя аналогичный прием, но умножая второе равенство исходной

системы на

, а третье на , можно получить выражение и для обратной

симметричной составляющей в фазе

b

2

b

A

=

2A

U

&

1

3

( + + ) .

(24)

A

U

&

B

U

&

b

C

U

&

2

b

Рассчитав по формулам (22)-(24) симметричные составляющие

несимметричной системы для фазы

, называемые главными

несимметричными составляющими, нетрудно, пользуясь последними шестью

выражениями предыдущего пункта, определить симметричные составляющие

и для двух остальных фаз.

A

210

,,

BBB

UUU

&&&

210

,,

CCC

UUU

&&&

4.4. Графический прием разложения

На основании формул (22)-(24) можно осуществить чисто графическое

разложение несимметричной системы векторов на симметричные

составляющие. Для иллюстрации этого приема воспользуемся системой

векторов

A

U ,

B

U ,

C

U (рис.31). Как следует из п.4.1 для получения нулевой

составляющей в фазе

необходимо сложить три вектора исходной системы и

взять одну треть полученного результата (рис.31). Для нахождения прямой

составляющей в фазе

из формулы (23) к вектору

A

U исходной системы

необходимо прибавить предварительно повернутый на 120

в положительную

сторону вектор

0

B

U и повернутый на 120 , но в отрицательном направлении

вектор

0

C

U . Одна треть этой геометрической суммы и будет представлять собой

вектор

. Векторы

1A

U

&

1B

U и

1C

U нетрудно достроить, помятуя, что они вместе с

вектором

должны составить прямую симметричную систему (рис. 32,а).

1A

U

&

Построения обратной симметричной составляющей выполняем,

используя формулу (24). Для этого вектор

A

U разлагаемой системы складываем

с предварительно повернутым на 120

в отрицательном направлении вектором

0

B

U и повернутым на тот же угол, но в положительную сторону вектором

C

U

(рис.32,б). Искомый вектор

будет равен одной трети этой геометрической

суммы. При построении всей совокупности векторов

2A

U

&

2A

U , ,

2B

U

r

2C

U

необходимо помнить, что они должны составить обратную симметричную

систему, в которой вектор

должен не отставать, а опережать вектор

2B

U

r

2A

U (рис.32,в).

Справедливость выполненного разложения несимметричной системы на

симметричные составляющие можно проверить путем пофазного

суммирования последних согласно выражениям:

A

U =

0A

U +

1A

U +

2A

U ;

B

U =

0B

U +

1B

U +

2B

U

r

;

C

U =

0C

U

r

+

1C

U +

2C

U .

Рис.32

Такое суммирование для только что рассмотренного примера

графического разложения выполнено на рис.33 по каждой фазе в отдельности.

Нетрудно убедиться, что в результате мы приходим к исходной системе

векторов, что и подтверждает правильность разложения.

Рис.33

Согласно выражению (22), которое в векторной форме можно переписать

в виде

(

)

CBAA

UUUU ++=

r

3

1

0

,

нулевая симметричная составляющая система определяется геометрической

суммой разлагаемой системы векторов

A

U ,

B

U ,

C

U . Отсюда вытекает, что

Аполлонский С.М. Учебное пособие. Трехфазные электрические цепи

Подождите немного. Документ загружается.