Антоник В.Г. Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения
Подождите немного. Документ загружается.
n = 2, x
0
= a, x
1
=
a + b
2
, x
2
= b
I(f) =
1
Z
−2
f(x)dx ,
n = 2 x
0
= a, x
1
= a +
b − a
3
, x
2
= b
y
0
= f(x, y) , y(x
0
) = y
0
[x
0
, x
0
+ a]
y = y(x) y
0
[x
0
, x
0
+a] x
1
, x
2
,
. . . , x
n
x
i
= x
0
+ ih , h =
a
n
, i = 1, n .
h = x
i+1
−x
i
y
i
, i = 1, n
y
i
≈ y(x
i
), i = 1, n
y
1
, y
2
, . . . , y
n
x
i
r
i
= y(x
i
) − y
i
, i = 1, n
r
i
h
R = max
1≤i≤n
|r
i
|, R ≤ Ch
p
.
p
y
i+1
= y
i
+ hf(x
i
, y
i
) , i = 0, n − 1
y
i+1
y
i
y
i+1
= y
i
+ hf(x
i+1
, y
i+1
) , i = 0, n − 1
y
i+1
R ∼ O(h)
y
i+1
= y
i−1
+ 2 hf (x
i
, y
i
) , i = 1, n − 1 .
y
i+1
y
i−1
y
i
i = 1
y
2
= y
0
+ 2hf (x
1
, y
1
) .
y
1
R ∼ O(h
2
)
y
0
= −xy , y(0) = 1 , x ∈ [0, 2]
n = 4
x
0
= 0, y
0
= 1, a = 2, f(x, y) = −xy, h =
a
n
=
1
2
.
x
i
= 0 +
1
2
i =
i
2
, i = 0, 4 .
y
i+1
= y
i
− hx
i
y
i
, i = 0, 3 .
y
1
= y
0
− hx
0
y
0
= 1 −
1
2
· 0 · 1 = 1 ,
y
2
= y
1
− hx
1
y
1
= 1 −
1
2
·
1
2
· 1 = 0.75 ,
y
3
= y
2
− hx
2
y
2
=
3
4
−
1
2
· 1 ·
3
4
= 0.375 ,
y
4
= y
3
− hx
3
y
3
=
3
8
−
1
2
·
3
2
·
3
8
= 0.09375 .
y
i+1
= y
i
− hx
i+1
y
i+1
, i = 0, 3 .
y
i+1
y
i+1
y
i+1
=
y
i
1 + hx
i+1
, i = 0, 3 .
y
1
=
y
0
1 + hx
1
=
1
1 +
1
2
·
1
2
=
4
5
= 0.8 ,
y
2
=
y
1
1 + hx
2
=
4
5
1 +
1
2
· 1
=
8
15
≈ 0.533 ,
y
3
=
y
2
1 + hx
3
=
8
15
1 +
1
2
·
3
2
=
32
105
≈ 0.305 ,
y
4
=
y
2
1 + hx
3
=
32
105
1 +
1
2
· 2
=
16
105
≈ 0.152 .
y(x) = exp
³
x
2
2
´
i x
i
y(x
i
) y
i
|r
i
| y
i
|r
i
|
R = 0.143
R = 0.083
¤
y
i+1
= y
i
+ h
m
X
j=1
p
j
k
j
, i = 0, n − 1 ,
k
1
= f(x
i
, y
i
) ,
k
2
= f(x
i
+ α
2
h, y
i
+ β
21
hk
1
) ,
. . .
k
m
= f(x
i
+ α
m
h, y
i
+ β
m1
hk
1
+ . . . + β
m,m−1
hk
m−1
) .
p
1
, . . . , p
m
, α
2
, . . . , α
m
, β
lq
, 0 < q < l ≤ m
m
m = 1
p
1
= 1
y
i+1
= y
i
+ hf ( x
i
, y
i
) , i = 0, n − 1 .
m = 2
p
1
= p
2
=
1
2
, α
2
= 1, β
21
= 1
y
i+1
= y
i
+
h
2
³
f(x
i
, y
i
)+f(x
i
+h, y
i
+hf (x
i
, y
i
))
´
, i = 0, n − 1 .
p
1
= 0, p
2
= 0, α =
1
2
, β
21
=
1
2
y
i+1
= y
i
+ hf
³
x
i
+
h
2
, y
i
+
h
2
f(x
i
, y
i
)
´
, i = 0, n − 1 .
R ∼ O(h
2
)
y
i
= y
i−1
+ h
³
b
0
f
i
+ b
1
f
i−1
+ . . . + b
m
f
i−m
´
, i = m, n ,
f
i
= f (x
i
, y
i
) b
0
, b
1
, . . . , b
m
m
m = 1, 2, . . .
i = m
y
m
= y
m−1
+ h
³
b
0
f(x
m
, y
m
) + . . . + b
m
f(x
0
, y
0
)
´
.
y
1
, . . . , y
m−1
b
0
= 0
b
0
6= 0
b
0
, b
1
, . . . , b
m
b
0
6= 0
L
m
(x)
x
i−m
x
i−m+1
. . . x
i
f
i−m
f
i−m+1
. . . f
i
y
i
= y
i−1
+
x
i
Z
x
i−1
L
m
(x)dx , i = m, n .
b
0
= 0
L
m−1
(x)
x
i−m
x
i−m+1
. . . x
i−1
f
i−m
f
i−m+1
. . . f
i−1
y
i
= y
i−1
+
x
i
Z
x
i−1
L
m−1
(x)dx , i = m, n .
m = 1, b
0
6= 0
x
i−1
x
i
f
i−1
f
i
L
1
(x)
L
1
(x) = f
i−1
x − x
i
x
i−1
− x
i
+ f
i
x − x
i−1
x
i
− x
i−1
=
= −
f
i−1
h
(x − x
i
) +
f
i
h
(x − x
i−1
) .
x
i
Z
x
i−1
L
1
(x)dx =
³
−
f
i−1
2h
(x − x
i
)
2
+
f
i
2h
(x − x
i−1
)
2
´
¯
¯
¯
¯
x
i
x
i−1
=
=
h
2
f
i−1
+
h
2
f
i
.
y
i
= y
i−1
+
h
2
f
i−1
+
h
2
f
i
, i = 1, m .
y
i
= y
i−1
+
h
2
³
f(x
i−1
, y
i−1
) + f(x
i
, y
i
)
´
, i = 1, m ,
b
0
= b
1
=
1
2
¤