Антипин М.И. Расчет плоских статически определимых ферм
Подождите немного. Документ загружается.
Расчет ферм
3. РАСЧЁТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
3.1 Основные понятия
Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически
неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными. Фермы
применяются для перекрытия значительных пролетов, когда проектирование
сплошных балок (например, двутавровых) становится экономически
невыгодным вследствие неполного использования материала стенки,
напряжения в которой меньше, чем в полках. Часто в таких конструкциях
возникает необходимость утолщения вертикальной стенки в связи с
возможностью ее выпучивания (при значительной высоте стенки). В таких
случаях сплошную балку заменяют сквозной стержневой системой — фермой,
элементы которой (стержни) при действии сосредоточенных нагрузок,
приложенных в узлах, работают главным образом на центральное сжатие или
растяжение. Ферма легче балки со сплошной стенкой, имеющей одинаковые с
ней пролет и высоту. Примером фермы может служить система, изображенная
на рис. 1.
В реальных фермах стержни соединены между собой не шарнирно, а
жестко (рис.3.1,a). Но такая конструкция является статически неопределимой и
не может быть рассчитана при помощи уравнений статики. Однако к ферме
применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая
расчетная схема (рис.3.1,б). Действительно, в реальных фермах стержни
искривляются незначительно, а изгибная жесткость стержней очень мала,
поэтому возникающие в стержнях изгибающие моменты пренебрежимо малы по
сравнению с продольными силами, и можно полагать, что стержни работают как
шарнирно закрепленные. Применимость шарнирно-стержневой схемы к
реальным фермам подтверждена экспериментально.
23
Верхний пояс
Нижний пояс
Раскос
Узел
d
Основные элементы
фермы показаны
на рис. 3.2. Места соединения
стержней называются узлами.
Совокупность стержней по верхнему
(нижнему) очертанию – это верхний
(нижний) пояс фермы. Между ними
располагается решётка фермы с
вертикальными стойками и
наклонными раскосами. Узлами
одного из поясов ферма делится на
панели.
стойка
Рис. 3.1
Рис.
3.2
a)
б)
Длина
панели
Расчет ферм
Классификация ферм
Классификацию ферм проведем по пяти признакам:
1) По характеру очертания внешнего контура (рис.3. 3):
фермы с параллельными поясами
треугольные
ломаным или полигональным верхним поясом
2) По типу решетки (рис. 3.4):
- фермы с простой решёткой (треугольная, раскосная);
- фермы со сложной решёткой: полураскосные, шпренгельные и др.
3) По типу отирания фермы (по аналогии с балкой) (рис. 3.5): консольные
и пролётные. Возможен случай консольно-пролётной фермы. Фермы могут быть
также распорными, составными.
4) По назначению фермы: различают фермы стропильные (рис3..6,a),
крановые (рис. 3.6,в), башенные (рис. 3.6,в), мостовые (рис.3.7) и др.
5) Мостовые фермы в зависимости от уровня езды делятся на фермы с
ездой понизу (рис. 3.7,а), фермы с ездой поверху (рис. 3.7,б) и фермы с ездой
посередине (рис. 3.7,в).
КИНЕМАТИЧЕС
24
Рис. 3.3
Рис.3.4
Рис.3.5
Рис.3.6
Расчет ферм
3.2 Кинематический анализ
Число возможных уравнений статики для расчета фермы - 2У (два
уравнения статики для каждого узла). Количество неизвестных при расчете
фермы - С+С
0
. Здесь У –число узлов фермы; С – число стержней; С
0
– число
опорных связей. Тогда условие статической определимости фермы будет
иметь следующий вид 2У=С+С
0
(число уравнений = числу неизвестных).
В других случаях, если условие не выполняется:
2У>С+С
0
- система геометрически изменяема;
2У<С+С
0
- система статически неопределима.
3.3 Узловая передача нагрузки
Нагрузка от перекрытий, передаётся на узлы ферм через специальные
балки (прогоны). Тогда значение узловой нагрузки в средних узлах фермы будет
qd, а для крайних узлов -
2
qd
3.4 Аналитический расчёт ферм на постоянную нагрузку
Прежде чем производить расчёт фермы, необходимо определить опорные
реакции (исключение составляют консольные фермы). В ферме, показанной на
рис. 3.8 горизонтальная реакция H
A
=0 (из уравнение статики
0X
). В силу
симметрии фермы и нагрузки, её вертикальные реакции равны. Для их
определения суммируем все внешние силы и полученное значение делим
пополам:
.3
2
6
F
F
VV
BA
Если в ферме имеет место узловая нагрузка, то все стержни работают
только на сжатие или растяжение. То есть в стержнях фермы возникает
только продольная сила. Будем обозначать её N
i-j
, где i и j узлы, которые
соединяет стержень. Задача расчёта заключается в определении продольных
сил N
i-j
в стержнях фермы.
1. Способ вырезания узлов.
Так как все силы, действующие на узел, пересекаются в одной точке, то
для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения
равновесия, выражающие равенство нулю сумм проекций всех сил на
25
d
d
d
d
d
d
q
V
A
=3F
d
d
d
d
d
d
F
F
F
F
F
A
B
1
2
3
4
5
6 7 8
V
B
=3F
F/2
F/2
F=ql
H
A
=0
Рис.
3.8
Рис.3.7
β
α
Расчет ферм
горизонтальную и вертикальную оси. Этот способ используется, если в узле
фермы 2 неизвестных усилия. Вся статически определимая ферма может
быть рассчитана последовательным вырезанием узлов. Проследим это на
примере фермы, показанной на рис. 3.8. Вырежем узел A , т.к. в нём
соединяются 2
Частные случаи в методе вырезания узлов
A. Трёхстержневой незагруженный узел, в котором два стержня лежат
на одной прямой , а третий под углом. Усилия в стержнях, лежащих на одной
прямой равны между собой, а усилие в стержне, расположенном под углом
равно нулю.
Докажем это. Рассмотрим, как соотносятся между собой усилия в стерж-
В. Двухстержневой незагруженный узел, усилия в стержнях,
соединяющихся в этом узле равно нулю.
2. Метод сечений.
Разрежем ферму на две части и отбросим одну из них. Для оставшейся
части можно составить три уравнения равновесия. Таким образом, если в
сечение попадают толь ко три стержня, то при помощи уравнений
статики можно определить усилия во всех разрезанных стержнях.
Систему трех уравнений по возможности будем сводить к трем разделённым
уравнениям, то есть составлять их так, чтобы в них входило 1 неизвестное. Для
26
A
V
A
=3F
N
A-1
N
A-6
стержня. Используем уравнения статики:
0X
; N
A-6
=0.
;0Y
N
A-1
+3F=0, N
A-1
=-3F.
1
F/2
N
1-2
N
1-6
N
1-A
Далее можно вырезать узел 1 и определить усилия
N
1-2
и N
1-6.
0X
; N
1-6
∙ cos α+N
1-2
∙ cos β =0.
;0Y
N
1-6
∙ sin α-N
1-2
∙ sin β+ N
1-A
+F/2 =0
Решаем систему уравнений относительно N
1-6
и N
1-2
7
N
7-3
N
7-8
N
6-7
нях, соединяющихся в узле 7. Используем уравнения
статики:
0X
; N
6-7
∙- N
7-8
∙ =0. Отсюда N
6-7
∙=N
7-8
.
;0Y
N
7-3
∙ =0
Используем уравнения статики:
;0Y
N
i
∙sinα =0; N
i
=0.
0X
; N
i
cosα +N
j
=0; отсюда N
j
∙=0
N
j
k
N
i
α
Рис.3.
9
Рис. 3.10
Рис. 3.11
Рис.3. 12
(стержень
сжат)
Расчет ферм
этого при определении усилия в интересующем нас i-м стержне составляется
уравнение моментов, взятых относительно точки пересечения двух других
стержне, попавших в сечение. Эта последняя точка называется моментной
точкой для i-го стержня.
На рис. 3.13 показано применение метода сечений при определении
усилий в стержнях третьей панели фермы. Для этого проведём сквозное
сечение через стержни этой панели (сечение II-II). Усилие в стержне 3—4
найдём из условия равенства нулю моментов сил, приложенных по левую
сторону от разреза II—II, относительно точки 8; для определения усилия в
стержне 7—8 — относительно точки 3. Определим уравнение статики для
усилия в стержне 3-8.
Найдём усилия в стержнях третьей панели через F и d.
N
3-4
=? (сеч.II-II) Искл. N
3-8
и N
7-8
. Моментная точка (точка их
пересечения) – 8
0
..
8
члев
M
; V
A
∙3d-F/2∙3d-F∙2d-F∙d+N
3-4
∙h=0; отсюда
h
d
F
h
dF
h
dFdFdFdV
N
A
5,4
5,4232/3
43
N
7-8
=?
(сеч.II-II) Искл. N
3-4
и N
3-8
. Моментная точка ( точка их
пересечения) – _____
0
..члев
M
; ____________________________________отсюда
h
d
F
h
dF
h
dFdFdV
N
A
4
422/2
87
N
3-8
=? (сеч.II-II) Искл. N
3-4
и N
7-8
.
Моментная точка уходит в бесконечность, так как исключаемые
стержни параллельны. Поэтому берём проекцию на ость Y.
0
..члев
Y
; ___________________________ отсюда
sin
5,0
sin
2/
83
F
FFFV
N
A
Можно проверить правильность
вычисления усилий. Для этого возьмём проекцию всех сил левой части на ось
X.
27
(стержень растянут)
(стержень растянут)
d
d
d
d
d
d
F
F
F
F
F
A
B
1
2
3
4
5
6 7 8
V
B
=3F
F/2
F/2
V
A
=3F
II
II
Рис. 3.13
Два стержня, исключаемых
из уравнения (3-4 и 7-8),
параллельны друг другу.
Моментная точка в этом
случае уходит в бес-
конечность и составляется
условие равенства нулю
суммы проекций всех сил,
действующих по одну
сторону сечения, на ось,
перпендикулярную
(стержень
сжат)
h
Расчет ферм
0X
; N
3-4
+ N
7-8
+N
3-8
cosβ= =
0ctg5,0Fctg4Fctg5,4
sin
cosF5,0
d
F
d4
d
F
5,4
0
0.
Определим усилия в стержнях второй панели через F и d (Рис. 3.14).
N
6-7
=? (сеч.I-I) Искл. N
2-3
и N
6-3
. Моментная точка ( точка их пересечения)
- 3
0
..
3
члев
M
; V
A
∙2d-F/2∙2d-F∙d-N
6-7∙r
h=0;
отсюда
h
d
F
h
dF
h
dFdFdV
N
A
4
422/2
76
N
2-3
=? (сеч.I-I) Искл. N
6-3
и N
6-7
.
Моментная точка ( точка их пересечения) _________
0
..члев
M
; ______________________________ отсюда
r
d
F
r
dF
r
dFdV
N
A
5,5
5,52/
32
N
6-3
=? (сеч.I-I). Искл. N
2-3
и N
6-7
. Моментная точка
( точка их пересечения) - 0
0
..
0
члев
M
; -V
A
∙a+F/2∙+F∙(d+a)-N
3-6∙r
R=0; отсюда
R
)ad(Fa2/FaV
N
A
63
28
(стержень растянут)
(стержень сжат)
(стержень сжат)
Рис. 3.14
d
d
d
d
d
d
F
F
F
F
F
A
B
1
2
3
4
5
6 7 8
V
B
=3F
F/2
F/2
V
A
=3F
О
I
I
r
R
a
h
h
1
γ
γ
R=(a+d) ·cos γ
3
6
7
γ
h
d
22
hdc
sin γ=h/c;
cos γ=d/c
Опишем алгоритм определения функций угла γ.
Для этого рассмотрим отдельно треугольник 6-3-7.
Катеты этого треугольника– d и h известны. Найдём
через них гипотенузу c. Функции синуса и косинуса угла
γ определим отношением катетов к гипотенузе.
с