Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
14. Лишки 121
14.1.2. Знайти лишки функції
3
( )
( 1)
z
e
f z
z z
у її особливих точках.
Розв’язання.
[2.11.1, 2.11.5, 2.11.6.]
Знайдімо особливі точки функції
( ) :
f z
3
( 1) 0 0, 1.
z z z z
Точка
0
z
— полюс 3-го порядку, точка
1
z
— простий полюс. Отже,
[2.11.6]
3
1
[2.11.5]
3
3 2
0 0
2
3
0
res (1) lim ( 1) ;
( 1)
1 1 ( 2)
res (0) lim lim
2 ! 2
( 1) ( 1)
1 ( 4 5) 5
lim .
2 2
( 1)
z
z
z z
z z
z
z
e
f z e
z z
e e z
f z
z z z
e z z
z
14.1.3. Знайти лишки функції
1
sin
( )
1
z
f z
z
у її особливих точках.
Розв’язання.
[2.11.1, 2.11.6.]
Особливими точки функції
( ) :
f z
0, 1.
z z
Точка
1
z
— простий полюс, точка
0
z
— істотно особлива точка.
1
1
sin
res (1) lim ( 1) sin 1.
1
z
z
f z
z
[2.9.6]
[2.9.8]
2 3
3 5 7
[9.2.2]
1 1
( ) sin
1
1 1 1 1
... 1 ...
3 ! 5 ! 7 !
1 1 1 1
... 1 ... ...
3 ! 5 ! 7 !
1 1 1
res (0) 1 ... sin 1.
3 ! 5 ! 7 !
f z
z z
z z z
z
z z z
z
f
14.2. Знайти лишок функції
10
1
( )
1
f z
z
у нескінченно віддаленій точці.
Розв’язання.
[11.3.]
Функція
( )
f z
в околі нескінченності
1
z
розвивається в Лоранів ряд:
10
[9.2.6]
10 10 1 10( 1) 10 20
0
1 1 1 1 1 1
( 1) ... .
1
1
k
k
k
z
z z z z z
122 Розділ 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
Отже,
1
0,
c
тобто
res ( ) ( 1) 0 0.
f
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
14.3. Знайдіть лишки функції
( )
f z
у всіх її особливих точках:
1)
3
1
( ) ;
f z
z z
2)
1
2
1
( ) ;
sin
f z
z
3)
2
2 5
( ) ;
2 1
z
f z
z z
4)
3 2 2
1
( ) ;
( 4)
f z
z z
5)
2
cos
( ) ;
z
f z
z
6)
( ) ;
sin
z
f z
z
7)
2
1
( ) sin ;
f z
z
8)
3
1
( ) cos ;
f z z
z
9)
1
1
( ) ;
z
f z ze
10)
1
( ) .
z
z
f z e
14.4. Знайдіть лишок функції
( )
f z
у точці
0
z
:
1)
1
4
0
( ) , ;
z
f z z e z
2)
2
0
( ) cos , ;
f z z z
z
3)
1
0
( ) , , 0;
sin
n
n
z
f z n z
z
4)
0
1
( ) , 0.
(1 cos 2 )sin
z
e z
f z z
z z
Відповіді
14.3. 1)
1 1
res (0) 1, res ( 1) , res (1) ;
2 2
f f f
2)
2 2 2
res 2 , res 2 ;
3 3
3 3
f k f k
3)
res (1) 2;
f
4)
1 1
res (0) , res ( 2 ) ;
32 64
f f i
5)
res 0;
2
f
6)
res (0) 0, res ( ) ( 1) ;
f f k k
7)
res (0) 0;
f
8)
1
res (0) ;
24
f
9)
3
res (1) ;
2
f
10)
res (1) .
f e
14.4. 1)
1
res ( ) ;
120
f
2)
2
res ( ) ;
f
3)
res (0) 1;
f
4)
res (0) 1.
f
15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків 123
15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків
Навчальні задачі
15.1.1. Обчислити інтеграл
1 4
.
3
z
z
zdz
e
Розв’язання.
[2.12.1.]
Особливими точками підінтегральної функції
( )
3
z
z
f z
e
є прості полюси
[2.5.4]
Ln( 3) ln 3 (2 1), .
k
z i k k
Усередину круга
1 4
z
потрапляють точки
1
ln 3
z i
та
2
ln 3
z i
.
Рис. до зад. 15.1.1
Отже, за теоремою Коші:
[2.12.1]
: 1 4
ln 3 ln 3
ln 3 ln 3
2 res (ln 3 ) res (ln 3 )
3
2
( 3) ( 3)
ln 3 ln 3
2
ln 3 ln 3 4
2 ln 3.
3 3 3
z
C z
z z
z i z i
i i
zdz
i f i f i
e
z z
i
e e
i i
i
e e
i i i
i
15.1.2. Обчислити інтеграл
2
3 2
3
1
.
z
z i
e
dz
z iz
Розв’язання.
[2.12.1.]
Особливими точками підінтегральної функції
2
2
1
( )
( )
z
e
f z
z z i
є нулі знаменника
0 1
0, .
z z i
Обидві
точки потрапляють усередину круга
3
z i
.
Точка
0
z
— усувна особлива точка, оскільки
Рис. до зад. 15.1.2
2
2
2
2
0 0
1 ,
1 1
lim lim .
0
( )
z
z
z z
e z
e
i
z i
z
z z i
Im
z
Re
z
O
i
1
Im
z
Re
z
O
1
3
1
z
2
z
124 Розділ 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
Отже,
res (0) 0
f
[2.11.4].
Точка
z i
— простий полюс. Отже,
2
2
3 2
: 3
1
2
1
2 res (0) res ( )
1
2 0 2 lim 2 (1 ).
z
C z i
z
z i
e
dz i f f i
z iz
e
i i i e
z
15.1.3. Обчислити інтеграл
3
: 1
1
sin .
C z
z dz
z
Розв’язання.
[2.12.1.]
Особливою точкою функції
3
1
( ) sin
f z z
z
є
0
z
— істотно особлива точка.
Ця точка потрапляє всередину круга
1.
z
Знайдімо
res (0)
f
за означенням:
[2.9.6]
3 3
3 5
1 1 1 1
sin ...
3 ! 5 !
z z
z z
z z
[2.11.2]
2
1
3
1 1
... res (0) 0.
3 !
5 !
z f c
z
Отже,
3
: 1
1
sin 2 0 0.
C z
z dz i
z
15.2.1. Обчислити інтеграл
2 2
.
( 4 13)
xdx
I
x x
Розв’язання.
[2.12.2.]
Особливими точками функції
2 2 2 2
( )
( 4 13) ( 2 3 ) ( 2 3 )
z z
f z
z z z i z i
є точки
1,2
2 3
z i
— полюси 2-го порядку, які не лежать на дійсній осі.
Степінь многочлена у знаменнику на 3 більше, ніж степінь многочлена в чисе-
льнику. Отже,
1
2 res ( 2 3 )
I i f i
(лишок береться в точці з додатною уявною частиною).
Знайдімо
15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків 125
[2.11.5]
2
2 3
3
2 3
res ( 2 3 ) lim
( 2 3 )
2 3 4
lim
216 54
( 2 3 )
2 .
54 27
z i
z i
z
f i
z i
i z i
i
z i
i
I i
15.2.2. Обчислити інтеграли
2
sin
.
4 20
x xdx
I
x x
Розв’язання.
[2.12.3, 2.12.4.]
[2.12.4]
2
Im .
4 20
ix
xe dx
I
x x
Функція
2
( )
( 2 4 )( 2 4 )
4 20
iz iz
ze ze
f z
z i z i
z z
має у точках
1,2
2 4
z i
— прості полюси. Отже,
[2.12.3]
2
Im Im 2 res ( 2 4 )
4 20
ix
xe dx
I i f i
x x
(лишок береться в точці з додатною уявною частиною).
Знайдімо
[2.11.6]
4
2 4
( 2 4 ) (cos 2 sin 2)
res ( 2 4 ) lim .
( 2 4 ) 8
iz
z i
ze i e i
f i
z i i
Отже,
4
2
4
4
2
( 2 4 ) (cos 2 sin 2)
2
8
4 20
( 2 cos 2 4 sin 2 (4 cos 2 2 sin 2))
4
(2 cos 2 sin 2)
.
2
ix
xe dx i e i
i
i
x x
e
i
e
I
15.2.3. Обчислити інтеграл
2
0
1 cos
dx
I
a x
(0 1).
a
Розв’язання.
[2.12.5.]
Виконаймо заміну змінної:
126 Розділ 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
2
1
, , cos .
2
ix
dz z
e z dx x
iz z
2
2
1
1 1
2
2 .
2
1
z
z z
z
dz dz
I i
az z a
iz a
Знайдімо особливі точки функції
2
1
( )
2
f z
az z a
:
2
2
1,2
2 0;
1 1
.
az z a
a
z
a
Усередину круга
1
z
потрапляє лише точка
2
1
1 1
a
z
a
— полюс 1-
го порядку. Отже,
2
2
1
[2.11.6]
2
2
1 1
1 1
1 1
1
res 1 1 lim .
2 1
a
a
z a
a
f a
a
a
a z
2 2
1 2
2 2 .
2 1 1
I i i
a a
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
15.3. Обчисліть
3
,
( 2)
C
dz
z z
якщо контур:
1)
: 5 1;
C z
2)
: 1;
C z
3)
: 3.
C z
15.4. Обчисліть
3 2
,
( 1) ( 1)
C
dz
z z
якщо контур:
1)
: 1 1;
C z
2)
: 1 1;
C z
3)
: 3.
C z
15.5. Обчисліть:
1)
2
2
1 5
cos
;
( 1)( 3)
z
z
dz
z z
2)
3
2
2
2
sin
;
z i
z
dz
z z
3)
2
2
1 2
3
1
;
( 4)sin
z
z
z
dz
z
4)
2
2
cos
;
sin
z
z
dz
z z
15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків 127
5)
1
2
;
z
z
z
e dz
6)
2
2
1
sin ;
z
z dz
z
7)
1
2
1
1
;
z
z
z e
dz
z
8)
2
1 3
sin
;
z
z
e z
dz
z
9)
2
0,5
cos 9
;
sh
z
z
e z
dz
z iz
10)
3
4
3
sh sin
;
sh
z
z
iz iz
dz
z
11)
2
2
3 2
4 ch
1
cos ;
3
( 2)
iz
z
z dz
z
z z
12)
2
2 2
2 2
2 sh
sin ;
2
( 1) ( 1)
iz
z
i
z dz
z
z z
13)
2 2
2
3
2
;
1
z
x y x
e
dz
z
14)
4
1 1
.
1
z
dz
z
15.6. Обчисліть:
1)
2
4
1
;
1
x
dx
x
2)
2
4 2
3
;
10 9
x x
dx
x x
3)
2
2 2 2
;
( )
x dx
x a
4)
2 2
;
( 2 2)
dx
x x
5)
2 2 2 2
;
( 3) ( 15)
dx
x x
6)
2 2 2
;
( 1) ( 16)
dx
x x
7)
2
0
sin
;
1
x x
dx
x
8)
2 2
cos
( 0);
( 1)( 9)
x
dx
x x
9)
2
4 2
cos
;
10 9
x xdx
x x
10)
3
4 2
( 1)sin
;
5 4
x x
dx
x x
128 Розділ 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
11)
2
0
;
2 3 sin 4
dt
t
12)
2
0
;
4 2 sin 6
dt
t
13)
2
2
0
;
( 7 3 cos )
dt
t
14)
2
2
0
;
( 5 2 cos )
dt
t
15)
2
2
0
(0 1);
1 2 cos
dx
p
p x p
16)
2
0
(0 ).
cos
dx
b a
a b x
Відповіді
15.3. 1)
0;
2)
;
4
i
3)
0.
15.4. 1)
3
;
8
i
2)
3
;
8
i
3)
0.
15.5. 1)
2
;
4
i
2)
4 ;
i
3)
3
;
2
i
4)
2 ;
i
5)
2
;
i
e
6)
2 ;
i
7)
;
i
8)
0;
9)
4;
10)
2 ;
11)
;
i
12)
5 ;
13)
2
2
;
3
e i
14)
0.
15.6. 1)
2;
2)
;
2
3)
;
2
a
4)
;
2
5)
15
;
10800
6)
3
;
100
7)
;
2
e
8)
3
1
;
16 3
e e
9)
9
3 1
;
8
e
e
10)
2
4 1
;
3
e
e
11)
;
12)
;
13)
7
;
4
14)
2 15
;
9
15)
2
2
;
1
p
16)
2 2
2
.
a b
Розділ 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
16. Інтеграл Фур’є
Навчальні задачі
16.1.1. Зобразити інтегралом Фур’є у комплексній формі центрований прямоку-
тний імпульс
,
2
( )
0, .
2
A t
f t
t
Знайти і зобразити його амплітудний та фазовий спектри.
Розв’язання.
[3.1.7, 3.2.3, 3.2.4.]
[
Крок 1. Зображуємо графік функції.
]
Рис. 1 до зад.
16.1.1.
[Крок 2. Перевіряємо умови теореми Фур’є [3.1.1.]]
2
2
( ) .
f t dt Adt A
Рис. 1 до зад. 16.1.1
Функція
f
— абсолютно інтегровна, кусково-стала — для неї виконано умови
теореми Фур’є.
[
Крок 3. Зображуємо графік інтеграла Фур’є, який від-
різняється від графіка функції лише в точках розриву 1-
го роду.] Рис. 2 до зад. 16.2.
[Крок 4. Записуємо відповідну формулу зображення фу-
нкції інтегралом Фур’є.]
[3.1.3]
1
( ) ( ) .
2
i t
f t F e d
Рис. 2 до зад. 16.2
[Крок 5. Записуємо формулу для коефіцієнта інтеграла Фур’є і обчислюємо його.]
2
[3.1.3]
2 2
2
2
( ) sin .
2
i i
i t
A A
F A e dt e e
i
[Крок 6. Записуємо відповідь згідно з теоремою Фур’є.]
,
, ,
.
,
2
1
sin
2 2
2
0,
2
i t
A t
A
A
e d t
t
Амплітудний спектр
t
O
( )
f t
2
2
A
t
O
( )
f t
2
2
A
130 Розділ 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
[3.1.8]
1
( ) 2 sin .
2
S A
Фазовий спектр
[3.1.9]
, sin 0,
2
( ) 0, ( ) ( ).
0, sin 0,
2
Рис. 3 до зад. 16.1.1
Рис. 4 до зад. 16.1.1
Коментар.
Оскільки функція
f
парна, то окрім зображення інтегралом
Фур’є можна знайти ще її косинус-перетвір.
3.1.5
0
2
( ) ( ) cos .
c
f t F td
2
3.1.5
0
2 2
( ) cos sin .
2
c
A
F A tdt
0
,
, ,
.
,
2
2 1
sin cos
2 2
2
0,
2
A t
A
A
td t
t
16.1.2. Зобразити інтегралом Фур’є загаяний прямокутний імпульс
, 0
( )
0, 0, .
A t
f t
t t
Знайти і зобразити його амплітудний та фазовий спектри.
Розв’язання.
[3.1.8, 3.1.9.]
1. Рис. 1 до зад. 16.1.2.
2.
0
( ) .
f t dt Adt A
Функція
f
— абсолютно інтегровна, кусково-стала
— для неї виконано умови теореми Фур’є.
Рис. 1 до зад. 16.1.2
O
( )
f t
A
O
2
4
( )
6
O
2
4
A
( )
S