Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. Лекции

Подождите немного. Документ загружается.

Êîëåáàíèÿ è âîëíû

′

=ω=ω

(3.7)

Åñëè îáà ãðóçà ñìåñòèòü âïðàâî íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ

ss =

, òî ñðåäíÿÿ

ïðóæèíà

′

(ïðóæèíà ñâÿçè) íå áóäåò äåôîðìèðîâàíà (ïîçèöèÿ á). Ïîñëå îòïóñêàíèÿ

ïðóæèíà áóäåò îñòàâàòüñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé. Ïîýòîìó êàæäûé èç ãðóçîâ áóäåò ñîâåð-

øàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé

=ω

, (3.8)

êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Êîíôèãóðàöèÿ ýòîãî ñèíôàçíîãî êîëå-

áàíèÿ (ìîäû) çàäàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä

+=ς .

Åñëè òåïåðü îáå ìàññû

ñìåñòèòü â ðàçíûå ñòîðîíû íà îäè-

íàêîâûå ðàññòîÿíèÿ

−=

(ïîçèöèÿ â), òî ïðóæèíà

′

óäëè-

íèòñÿ íà âåëè÷èíó

. Ïîýòîìó

ê ïðàâîé ìàññå áóäåò ïðèëîæåíà

âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ

)2(

skks

′

+−

, à íà ëåâóþ ìàñ-

ñó áóäåò äåéñòâîâàòü â ïðîòèâî-

ïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñèëà

)2(

skks

′

+−

. Ïîñëå îòïóñêà-

íèÿ ãðóçû áóäóò ñîâåðøàòü ïðî-

òèâîôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êî-

ëåáàíèÿ ñî âòîðîé íîðìàëüíîé

÷àñòîòîé

′

=ω

. (3.9)

Êîíôèãóðàöèÿ âòîðîé ìîäû õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëå-

íèÿ ς

= 1.

Åñëè ãðóçû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.5à, ñìåñòèòü íà ïðîèçâîëüíûå ðàññòîÿíèÿ

(íàïðèìåð, â îäíó ñòîðîíó íà âåëè÷èíû

, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.5á), òî

ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóïåðïîçèöèè äâóõ òèïîâ íà÷àëüíûõ ñìåùåíèé: â îäíó ñòîðîíó íà îäè-

íàêîâûå âåëè÷èíû (ïîçèöèÿ â)

)(

0201

ssss

+==

; (3.10)

è â ðàçíûå ñòîðîíû (ïîçèöèÿ ã) íà âåëè÷èíû

)(

0102

ssss

−==−

. (3.11)

Ïîñêîëüêó êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíà, òî ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþ-

ùèå ïîñëå îòïóñêàíèÿ ãðóçîâ â ïîçèöèè (â), áóäóò ïðîèñõîäèòü íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ

à)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 3.5.

Ëåêöèÿ 3

ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ â ïîçèöèè (ã). Ñìåùåíèÿ

îáîèõ ãðóçîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò îïèñûâàòüñÿ ôîðìóëàìè (3.5), â êîòîðûõ àìïëèòó-

äû îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (3.10) è (3.11), à íà÷àëüíûå ôàçû

III

π=ϕ=ϕ .

Ïðîàíàëèçèðóåì áîëåå ïîäðîáíî êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.3.5.

Ïóñòü ìû ñäâèíóëè ëåâóþ ìàññó âïðàâî íà ðàññòîÿíèå

, à ïðàâóþ ìàññó îñòàâèëè â

íåñìåùåííîì ïîëîæåíèè

)0(

. Ïîñëå îòïóñêàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ â ñèñòåìå âîçíèê-

íóò êîëåáàíèÿ. Èç (3.10) è (3.11) îïðåäåëÿåì àìïëèòóäû ìîä:

sss ==

;

sss −==−

. Ïîñêîëüêó ôàçû

III

π=ϕ=ϕ (ò.ê. íà÷àëüíûå ñêîðîñòè ó ãðóçîâ

îòñóòñòâóþò), òî ñìåùåíèÿ

.cos

cos

)(

;cos

cos

)(

ω−ω=

ω+ω=

(3.12)

Ïðîèçâîäÿ ñóììèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â (3.12), ïîëó÷èì:

cos

sin)(

;

cos

cos)(

IIIIII

012

IIIIII

011

ttsts

ω+ω

⋅

ω−ω

ω+ω

⋅

ω−ω

(3.13)

Âðåìåííûå çàâèñèìîñòè (3.13) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.6.

Ðèñ. 3.6.

Êîëåáàíèÿ è âîëíû

Âèäíî, ÷òî êîëåáàíèÿ êàæäîé èç ìàññ èìåþò ôîðìó áèåíèé. Ïåðèîä ýòèõ áèå-

íèé ðàâåí

áIII

Ω

ω−ω

, (3.14)

ãäå ÷àñòîòà áèåíèé

IIIá

ω−ω=ω∆=Ω

. (3.15)

Åñëè ââåñòè ñðåäíþþ ÷àñòîòó

III

ω+ω

=ω

, (3.16)

òî ñ ýòîé ÷àñòîòîé ñâÿçàí ïåðèîä êîëåáàíèé

Åñëè ÷àñòîòà áèåíèé

0á

ω<<Ω

, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.6, òî

TÒ >>

. Â

ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ áóäóò ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèìè (êâàçèãàðìîíè÷åñêè-

ìè). Åñëè ïåðåïèñàòü (3.13) ñ èñïîëüçîâàíèåì ñðåäíåé ÷àñòîòû

ω è ÷àñòîòû áèåíèé

Ω â âèäå:

;cos)(cos

sin)(

;cos)(cos

cos)(

020

012

010

011

ttAttsts

ω=ω

Ω

ω=ω

Ω

(3.17)

òî ïðè

0á

ω<<Ω êîëåáàíèÿ (3.17) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé

ω è

ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ àìïëèòóäîé A(t).

Â òåîðèè êîëåáàíèé è â äðóãèõ ðàç-

äåëàõ ôèçèêè äëÿ àíàëèçà êîëåáàòåëüíîãî

ïðîöåññà èñïîëüçóþò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå, èëè ñïåêòð êîëåáàíèé. Ýòîò ñïåêòð

èçîáðàæàþò ãðàôè÷åñêè: ïî îñè àáñöèññ óêà-

çûâàþò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, à ïî îñè îðäèíàò

îòêëàäûâàþò êâàäðàòû èõ àìïëèòóä. Òàê, â

÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåáàíèé, èçîáðàæåííûõ íà

ðèñ. 3.6 (

èëè

) è îïèñûâàåìûõ ôîðìó-

ëàìè (3.17), ëåãêî íàðèñîâàòü ñïåêòð, ïî-

ñêîëüêó óæå èçâåñòíî ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæå-

íèå ýòîãî êîëåáàíèÿ (ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé), çàäàâàå-

ìîå ôîðìóëàìè (3.12).

Òàêîé ñïåêòð èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.7.

Êîëåáàíèÿ (3.12), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè, ò.å. íåëüçÿ óêàçàòü òàêîå âðåìÿ

T*, ñïóñòÿ êîòîðîå îíè òî÷íî ïîâòîðÿþòñÿ (îòíîøåíèå ÷àñòîò

ωω

III

 ÷àùå âñåãî èððàöèîíàëü-

íîå ÷èñëî, à ñëó÷àè èõ ðàöèîíàëüíîãî îòíîøåíèÿ:

mnωω

III

= áóäóò èñ÷åçàþùå ðåäêè). Ïîýòîìó

ïåðèîäîì áèåíèé T

ìû íàçûâàåì ïåðèîä (3.14) ïîâòîðåíèÿ îãèáàþùåé ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ,

ðàâíûé ïîëîâèíå ïåðèîäà êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé

ωω

II I

−

, à

Ω

II I

==−

ωω

Ðèñ. 3.7.

Ëåêöèÿ 3

Ýòîò ñïåêòð ñîäåðæèò äâå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû. Åãî ìîæíî îõàðàêòåðèçî-

âàòü ñðåäíåé ÷àñòîòîé

ω è øèðèíîé

ω∆

. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.14) ïðîèçâåäå-

íèå

ω∆

íà ïåðèîä

ðàâíî ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå:

π=⋅ω∆ 2

. (3.18)

Ôîðìóëà (3.18) èìååò ãëóáîêîå ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå. Òàê, åñëè ïðîèñõîäèò

íåêîòîðîå êâàçèãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå âèäà

)],(cos[)()(

tttAts ϕ+ω=

(3.19)

äëÿ êîòîðîãî àìïëèòóäà À è ôàçà ϕ ìåäëåííî ìåíÿþòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè τ

(ðèñ.3.8à), òî ñïåêòð òàêîãî êîëåáàíèÿ ìîæåò ñîñòîÿòü èç áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòîò.

Ýòè ÷àñòîòû ãðóïïèðóþòñÿ âáëèçè öåíòðàëüíîé (îñíîâíîé) ÷àñòîòû

T/2

π=ω

â ïðåäåëàõ õàðàêòåðíîãî èíòåðâàëà ÷àñòîò ∆ω, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîãî âðåìåííî-

ìó ìàñøòàáó τ. Íà ðèñ. 3.8á

èçîáðàæåí ýòîò ñïåêòð, ãäå ïî

îñè îðäèíàò îòëîæåí êâàäðàò

àìïëèòóäû

êàæäîé èç ãàð-

ìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ,

ïðè÷åì ìåæäó τ è ∆ω ñóùå-

ñòâóåò ñâÿçü:

πτ⋅ω∆ 2~

Êîëè÷åñòâåííàÿ ñâÿçü

ìåæäó êîëåáàòåëüíûì ïðîöåñ-

ñîì s(t) è åãî ñïåêòðîì ïðåä-

ñòàâëÿåòñÿ (ïî àíàëîãèè ñ ôîð-

ìóëàìè (3.12)) â âèäå ñóììû

êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî

÷èñëà ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâ-

ëÿþùèõ (â âèäå ðÿäà èëè èí-

òåãðàëà Ôóðüå). Òàêîå ïðåä-

ñòàâëåíèå áóäåò øèðîêî èñ-

ïîëüçîâàòüñÿ â êóðñå «Îïòèêà».

Ìåòîäèêà àíàëèçà êîëåáàíèé ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ. Âûøå ìû ðàñ-

ñìîòðåëè êîëåáàíèÿ äâóõ îäèíàêîâûõ ñâÿçàííûõ ïðóæèííûõ ìàÿòíèêîâ, íå ïðèáåãàÿ

ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé èõ äâèæåíèÿ. Îäíàêî, åñëè æåñòêîñòè ïðóæèí è ìàññû òåë

èìåþò ïðîèçâîëüíûå âåëè÷èíû, òî çà÷àñòóþ áûâàåò òðóäíî äîãàäàòüñÿ î êîíôèãóðà-

öèè ìîä è èõ ÷àñòîòàõ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ âàæíûì âîîðóæèòüñÿ óíèâåðñàëü-

íûì ìåòîäîì, ïîçâîëÿþùèì ïî åäèíîé ñõåìå ïðîâåñòè ïîñëåäîâàòåëüíûé àíàëèç

ëþáîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ÿâëÿþùåéñÿ ñèñòåìîé

ëþáûõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ.

Ðèñ. 3.8.

Dw ~ p t 2/

s ()

à)

á)

Êîëåáàíèÿ è âîëíû

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ïðóæèííûõ ìàÿòíèêîâ â âèäå:

;

122222

211111

sksksksm

′

−−=

′

−−=

(3.20)

Ðàçäåëèâ ïåðâîå óðàâíåíèå íà

, à âòîðîå  íà

è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ

(3.6) äëÿ ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò, ïåðåïèøåì (3.20) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

2122

211

sss

ω−α−=

α−ω−=

(3.21)

ãäå

2211

/ ,/

mkmk

′

−=α

′

−=α

 êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå îò æåñòêîñòè

′

ïðóæèíû ñâÿ-

çè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî óðàâíåíèÿ (3.21) íå ìîãóò ðåøàòüñÿ ïî îòäåëüíîñòè, ò.ê. êàæäîå

èç íèõ ñîäåðæèò

. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè îò ñìåùåíèé

ê íîâûì

ôóíêöèÿì

, íàçûâàåìûì íîðìàëüíûìè êîîðäèíàòàìè. Ñìûñë ïåðåõîäà ñîñòîèò â

ïîëó÷åíèè äâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ðåøàòü ïî îòäåëüíîñòè.

Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå ýòè êîîðäèíàòû íàéòè íå ïðîñòî. Ïîýòîìó äëÿ èëëþñ-

òðàöèè òàêîãî ïåðåõîäà ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ îäèíàêîâûìè ìàññàìè

)(

mmm ==

ïðóæèíàìè

)(

kkk ==

. Ïîñêîëüêó ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò (ω

= ω

= ω =

′

), à òàêæå

′

−=α=α=α

, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.21) ñòàíîâèòñÿ áîëåå

ïðîñòîé. Ñëîæèâ îáà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì:

)(

ξα+ω−=ξ

, (3.22à)

ãäå

211

ss +=ξ

 ïåðâàÿ íîðìàëüíàÿ êîîðäèíàòà. Âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå èç ïåðâî-

ãî, íàõîäèì:

)(

ξα−ω−=ξ

, (3.22á)

ãäå

212

ss −=ξ

 âòîðàÿ íîðìàëüíàÿ êîîðäèíàòà. Òåïåðü óðàâíåíèÿ (3.22) íåçàâèñèìû.

Ïåðâîå èç íèõ îïèñûâàåò êîëåáàíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ñ ÷àñòîòîé

′

−ω=ω

, (3.23)

ìåíüøåé ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû

. Âòîðîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ

ìåæäó äâóìÿ ìàññàìè ñ ÷àñòîòîé

′

+ω=ω

, (3.24)

ïðåâûøàþùåé ïàðöèàëüíóþ ÷àñòîòó. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.22) î÷åâèäíû:

)sin()()()(

II01211

ϕ+ωξ=+=ξ ttstst ; (3.25à)

)sin()()()(

IIII02212

ϕ+ωξ=−=ξ ttstst . (3.25á)

Âîçâðàùàÿñü ê ôóíêöèÿì

, ïîëó÷àåì:

)sin(

)(

IIII

ϕ+ω

+ϕ+ω

= ttts

; (3.26à)

)sin(

)(

IIII

ϕ+ω

−ϕ+ω

= ttts

. (3.26á)

Ëåêöèÿ 3

×åòûðå âåëè÷èíû

I0201

, ,

ϕξξ

ϕ îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé:

)0(

=ts ,

)0(

=ts ,

)0(

=ts

)0(

=ts

Ïðîèëëþñòðèðîâàâ ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì, âåðíåìñÿ ê ìåòîäèêå

àíàëèçà êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè (3.21).

Ïóñòü â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñ íåèçâåñòíîé ïîêà ÷àñòî-

òîé

è êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä

=ς

),sin()(

011

ϕ+ω= tsts

)sin()(

022

ϕ+ω= tsts . (3.27)

Ïîäñòàâèì (3.27) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.21). Òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó èç äâóõ

àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

.0)(

;0)(

2012

02101

=ω−ω+α

=α+ω−ω

(3.28)

Ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (3.28) èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ ðåøå-

íèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:

.0))((

=α⋅α−ω−ωω−ω=

ω−ωα

αω−ω

(3.29)

Ýòî  êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî

ω , ïðè÷åì

0>ω

. Ïîýòîìó, ðåøàÿ

óðàâíåíèå (3.29), ìîæíî íàéòè íîðìàëüíûå ÷àñòîòû

ω è

ω . Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷àñòîò

íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàéòè êîíôèãóðàöèþ ìîä, ò.å. êîýôôèöèåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëè-

òóä

ς è

ς . Èõ ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (3.28), ïðè÷åì î÷å-

âèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû (

èëè

) ýòè êîýôôèöèåíòû ðàçëè÷íû:

ω−ω













=ς

ω−ω













=ς

. (3.30)

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (3.29) è ðàâåíñòâî (3.30) ïîçâîëÿþò ïîëíîñòüþ ðàñ-

ñ÷èòàòü ïàðàìåòðû êàæäîé èç äâóõ ìîä. Äâèæåíèå êàæäîé èç ìàññ, êàê óæå íåîäíîêðàò-

íî îòìå÷àëîñü, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé:

)sin()sin()(

IIII01II011

III

ϕ+ω+ϕ+ω= tststs

)sin()sin()(

IIII01IIII01I2

III

ϕ+ω⋅ς+ϕ+ω⋅ς=

tststs

ãäå àìïëèòóäû

è íà÷àëüíûå ôàçû

îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è ðàíüøå, èç

íà÷àëüíûõ óñëîâèé:

)0(

Ðàñ÷åò ìîä äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÷èòàòåëü ìîæåò

ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.

Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Äëÿ óñòà-

íîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè ïåðåïèøåì (3.29) â âèäå

0))((

222

=ωωγ−ω−ωω−ω

, (3.31)

ãäå

))((

kkkk

′

ωω

αα

=γ

. (3.32)

Êîëåáàíèÿ è âîëíû

Áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò ñâÿçè

ìåæäó äâóìÿ ñèñòåìàìè ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷å-

íèÿ

10 <γ<

. Åñëè èç (3.31) îïðåäåëèòü íîðìàëü-

íûå ÷àñòîòû

, òî îíè áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû

êîýôôèöèåíò

. Ýòè ÷åòûðå ÷àñòîòû áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà îñè ÷àñòîò â ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.9.

Ïðè ñëàáîé ñâÿçè

)1( <<γ

íîðìàëüíûå ÷àñòîòû áëèçêè ê ïàðöèàëüíûì, à ïðè

ñèëüíîé ñâÿçè (γ 1) ðàçëè÷èå â ÷àñòîòàõ ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ýòî õîðîøî âèä-

íî, åñëè ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò (ω

= ω

). Òîãäà (3.31) ïðèìåò âèä:

0)(

2222

=ωγ−ω−ω

Îòñþäà

()

γ−ω=ω

()

γ+ω=ω

. (3.33)

Çàòóõàíèå êîëåáàíèé. Åñëè ýíåðãèÿ íå ïîäâîäèòñÿ èçâíå, òî êîëåáàíèÿ ñâÿçàí-

íûõ îñöèëëÿòîðîâ áóäóò çàòóõàòü. Ïîñêîëüêó ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêî-

ðîñòè, òî óðàâíåíèÿ (3.21) ñ ó÷åòîì çàòóõàíèÿ ïðèìóò âèä:

222

2122

21111

ssss

&&&

δ−ω−α−=

α−δ−ω−=

(3.34)

Çäåñü

111

mΓ=δ

222

mΓ=δ

 êîýôôèöèåíòû çàòóõàíèÿ äëÿ ïåðâîãî è

âòîðîãî îñöèëëÿòîðîâ. Åñëè èñêàòü ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â âèäå íîðìàëüíûõ çàòóõàþ-

ùèõ êîëåáàíèé:

st se t

101

() sin( )

−δ

ωϕ

st se t

202

() sin( )

−δ

ωϕ

, (3.35)

òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3.35) â (3.34) ìîæíî íàéòè íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó

, êîýôôèöèåíò

çàòóõàíèÿ

è êîíôèãóðàöèþ

êàæäîé èç äâóõ ìîä. Îïóñêàÿ ïðîìåæóòî÷íûå âûêëàä-

êè, îòìåòèì, ÷òî ïðè

δ>>ω è

δ>>ω (ñëàáîå çàòóõàíèå) íîðìàëüíûå ÷àñòîòû è

ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä â ìîäàõ áóäóò áëèçêè ê òåì, ÷òî è â îòñóòñòâèå çàòóõàíèÿ. Äëÿ

êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ

ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå:

)()(

ω−ω+ω−ω

δω−ω+δω−ω

=δ

(3.36)

Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó

ω ,

δ è

êîýôôèöèåíòû çàòóõàíèÿ ìîä

, ïîëó÷àåìûå èç (3.36) ïðè

ω=ω

áóäóò ðàçëè÷íûìè.

Åñëè ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò

)(

ω=ω

, òî

δδ δδ

III III

== +

()

. (3.37)

Åñëè

ω≠ω , à δ=δ=δ

, òî

δ=δ=δ

III

. (3.38)

Ïîñëåäíèì ðåçóëüòàòîì ìû âîñïîëüçóåìñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè äèññèïàöèè ýíåð-

ãèè â ñâÿçàííîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå.

Ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû è åå äèññèïàöèÿ. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ äâóõ

îäèíàêîâûõ ìàññ (ðèñ. 3.10à), çàêðåïëåííûõ íà ðàñòÿíóòîì ëåãêîì ðåçèíîâîì øíóðå.

Ðèñ. 3.9.

Ëåêöèÿ 3

Åñëè îäèí èç ãðóçîâ

îòòÿíóòü íà ðàññòîÿíèå

(á) è çàòåì îäíîâðåìåííî îò-

ïóñòèòü îáå ìàññû, òî èõ êî-

ëåáàíèÿ áóäóò èìåòü âèä áè-

åíèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè

ýòèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ áó-

äóò âîçáóæäåíû äâå ìîäû (â

è ã) ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòó-

äàìè êîëåáàíèé îáåèõ ìàññ,

ðàâíûìè

. Ýíåðãèÿ, çàïà-

ñåííàÿ â ïåðâîé ìîäå, ðàâíà

ñóììå êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé

îáåèõ ìàññ ïðè ïðîõîæäåíèè èìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñî ñêîðîñòüþ

ω= sv

, ò.å.:

)(

ω==

E v

, (3.39à)

à ýíåðãèÿ âòîðîé ìîäû, àíàëîãè÷íî, ðàâíà

.)(

2II

ω==

E v

(3.39á)

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýíåðãîîáìåí ìåæäó ìîäàìè îòñóòñòâóåò, à ïîëíàÿ ýíåðãèÿ

ñèñòåìû ðàâíà ñóììå ýíåðãèé åå ìîä. Â òî æå âðåìÿ â ïðîöåññå áèåíèé ýíåðãèÿ ïåðâîãî

îñöèëëÿòîðà çà âðåìÿ, ðàâíîå ïîëîâèíå ïåðèîäà áèåíèé, «ïåðåòåêàåò» êî âòîðîìó îñ-

öèëëÿòîðó è çàòåì çà òàêîå æå âðåìÿ âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî. Ïîëíûé ýíåðãîîáìåí ìåæ-

äó îñöèëëÿòîðàìè âîçìîæåí ëèøü òîãäà, êîãäà îáå ìàññû îäèíàêîâû è îòíîøåíèå

)/()(

IIIIII

ω−ωω+ω ðàâíî öåëîìó ÷èñëó n, ò.å.:

III

Ω

ω−ω

ω+ω

(3.40)

Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà

ω äîëæíà áûòü êðàòíîé ÷àñòîòå áèåíèé. Â ñàìîì äåëå,

ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3.40) êàæäàÿ èç ìàññ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè îñòàíàâëèâàòüñÿ â

ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (3.17)). Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êîëåáàíèÿ

áóäóò çàòóõàòü, è áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàòüñÿ ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìîäàõ:

,)(

eEemstE

δ−δ−

=ω=

(3.41à)

.)(

2II

eEemstE

δ−δ−

=ω=

(3.41á)

Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ

=τ

ýíåðãèÿ êàæäîé èç ìîä óìåíü-

øèòñÿ â å ðàç, ïðè ýòîì ïðîòèâîôàçíàÿ ìîäà «ïîòåðÿåò» áîëüøå ýíåðãèè, ÷åì ñèíôàçíàÿ,

ïîñêîëüêó íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ

ó íåå áûëà áîëüøå, ÷åì

(ñì. (3.39)).

Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè âûíóæäåí-

íûõ óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.11, åñëè íà ëåâóþ

ìàññó

äåéñòâóåò ñèëà F(t)=F

sin ωt. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäóò îòëè-

÷àòüñÿ îò (3.34) íàëè÷èåì ýòîé ñèëû â ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:

Ðèñ. 3.10.

a aamm

à)

á)

â)

ã)

Êîëåáàíèÿ è âîëíû

,sin2

222

2122

21111

ssss

&&&

δ−ω−α−=

ω+α−δ−ω−=

(3.42)

Íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî

ðåøåíèÿìè ýòîé ñèñòåìû â óñòà-

íîâèâøåìñÿ ðåæèìå ÿâëÿþòñÿ

ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè

)sin()(

1011

ϕ+ω= tsts ,

),sin()(

2022

ϕ+ω= tsts (3.43)

êîòîðûå îòðàæàþò òîò ôàêò, ÷òî îáå ìàññû êîëåáëþòñÿ íà ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû.

Ïîäñòàâëÿÿ (3.43) â (3.42), ìîæíî âû÷èñëèòü àìïëèòóäû è ôàçû âûíóæäåííûõ êîëåáà-

íèé. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ.

Íà ðèñ. 3.12 èçîáðàæåíà À×Õ äëÿ

ïåðâîãî îñöèëëÿòîðà, ê êîòîðîìó ïðèëîæåíà

ñèëà. Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå íàëè÷èå

äâóõ ðåçîíàíñîâ, êîòîðûå ïðè ìàëîì çàòóõà-

íèè íàáëþäàþòñÿ íà íîðìàëüíûõ ÷àñòîòàõ

ω è

ω . Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû

îò

äî

àìïëèòóäà

ïàäàåò è äîñòèãàåò ìè-

íèìóìà íà âòîðîé ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòå

ïðè ýòîì ñ óìåíüøåíèåì çàòóõàíèÿ àìïëèòó-

äà íà ýòîé ÷àñòîòå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóþò äëÿ ïîäàâëåíèÿ

îòêëèêà ñèñòåìû íà äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû. Â ðàäèîòåõíèêå, ãäå èñïîëüçóþòñÿ ñâÿçàí-

íûå êîëåáàòåëüíûå êîíòóðû, èõ ïðèìåíÿþò êàê ôèëüòðû è äåìïôåðû.

Äâà ðåçîíàíñà èìåþò ìåñòî è äëÿ ñìåùåíèÿ s

âòîðîé ìàññû. Åñëè ïðîàíàëèçè-

ðîâàòü îòíîøåíèå àìïëèòóä

0102

â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû

, òî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî

ýòî îòíîøåíèå âáëèçè ÷àñòîòû

ω ðàâíî êîýôôèöèåíòó ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä

ς äëÿ

ïåðâîé ìîäû, à âáëèçè ÷àñòîòû

ω  êîýôôèöèåíòó ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä

ς äëÿ

âòîðîé ìîäû. Ýòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ, ïîñêîëüêó ïðè

âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ ýòî ñäåëàòü ïðîùå, ÷åì ïðè ñîáñòâåííûõ.

Êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îñíîâíûå èäåè, ñôîðìóëèðî-

âàííûå ïðè ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèé ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òåïåðü ìîãóò áûòü ñ

óñïåõîì èñïîëüçîâàíû äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé ñèñòåì ñ òðåìÿ, ÷åòûðüìÿ, ..., N ñòåïåíÿìè ñâî-

áîäû, è â ïðåäåëå, ïðè

∞

→

, äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé â ñïëîøíûõ ñðåäàõ, ò.å. âîëí.

Îáðàòèìñÿ âíà÷àëå ê êîëåáàíèÿì òðåõ îäèíàêîâûõ ìàññ m, çàêðåïëåííûõ íà ðàâ-

íûõ ðàññòîÿíèÿõ à íà íàòÿíóòîì ëåãêîì ðåçèíîâîì øíóðå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.13à. Ëþ-

áîå êîëåáàíèå ýòîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåðïîçèöèÿ òðåõ íîðìàëüíûõ

êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè

ω ,

ω è

III

ω . Îïóñêàÿ íà âðåìÿ âîïðîñ î âåëè÷èíå ÷àñòîò, íàéäåì

êîíôèãóðàöèþ ýòèõ ìîä. Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî êâàäðàò ÷àñòîòû êîëåáàíèé êàæäîé ìàñ-

ñû â äàííîé ìîäå äîëæåí áûòü îäèíàêîâ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ â ñëó÷àå, êîãäà îòíîøåíèÿ

k ¢m

Ft()

Ðèñ. 3.11.

Ðèñ. 3.12.

Ëåêöèÿ 3

âîçâðàùàþùåé ñèëû ê

âåëè÷èíå ìàññû m è åå

ñìåùåíèþ s ó âñåõ ãðó-

çîâ áóäóò îäèíàêîâûìè.

Òàêèå óñëîâèÿ ðåàëè-

çóþòñÿ ïðè ñìåùåíèè

ìàññ òðåìÿ ñïîñîáàìè

(á, â è ã íà ðèñ.3.13).

Ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ

èç ïîëîæåíèÿ (á) â ñèñ-

òåìå áóäåò ïðîèñõîäèòü

ïåðâîå íîðìàëüíîå êî-

ëåáàíèå íà ÷àñòîòå

ω ;

èç ïîëîæåíèÿ (â) 

âòîðîå íà ÷àñòîòå

ω ;

èç ïîëîæåíèÿ (ã)  òðåòüå íà ÷àñòîòå

III

. Î÷åâèäíî, ÷òî

IIIIII

ω>ω>ω

Êîíôèãóðàöèÿ êàæäîé èç ìîä ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ äâóõ êîýôôèöè-

åíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä. Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî äëÿ ÷åòûðåõ ìàññ òàêèõ

êîýôôèöèåíòîâ äîëæíî áûòü òðè, è ò.ä.

Îäíàêî ñèòóàöèÿ ìîæåò áûòü óïðîùåíà, åñëè îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ðàñïîëîæå-

íèå ìàññ â ïîçèöèÿõ (á), (â) è (ã) íà ðèñ. 3.13 íàïîìèíàåò «ñèíóñîèäàëüíîå» (ïóíêòèðîì

èçîáðàæåí ôðàãìåíò ôóíêöèè

xksin

, ãäå

 íåêîòîðûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïå-

ðèîä ýòîé ôóíêöèè). Òîãäà êîíôèãóðàöèÿ ïåðâîé ìîäû áóäåò îïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

;sin)(

xsxs

(3.44à)

Äëÿ âòîðîé ìîäû:

;sin)(

II0

xsxs

III

kk =

. (3.44á)

Äëÿ òðåòüåé ìîäû:

;sin)(

III0

III

xsxs

IIII

kk =

(3.44â)

Ðîëü áåçðàçìåðíûõ êîýôôèöèåíòîâ

âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ

III) II, I,( sin =px

, âû÷èñ-

ëåííàÿ â òî÷êàõ

axx ==

axx 2

== ,

axx 3

== .

Äðóãèìè ïðèìåðàìè ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÿâëÿþòñÿ àòîìû â ìîëåêóëàõ CO

O è ò. ä. Íà ðèñ. 3.14 èçîáðàæåíû êîíôèãóðàöèè ìîä è ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò

íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ìîëåêóë. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ýòè ÷àñòîòû èìåþò ïîðÿäîê

âåëè÷èíû

)1010(

1413

1

è çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþò (íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ) ÷àñòîòû

ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ ýòèõ (è äðó-

ãèõ) ìîëåêóë ìîæíî âîçáóäèòü ïðè âçàèìîäåéñòâèè ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ èîíîâ,

ñîñòàâëÿþùèõ ýòè ìîëåêóëû, ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû

èíôðàêðàñíîãî (ÈÊ) äèàïàçîíà, èìåþùåé áëèçêóþ ÷àñòîòó.

Ðèñ. 3.13.

a amm maa

III

à)

á)

â)

ã)

Ö2



Ö2

