Алешечкин А.М. Метрология и радиоизмерения

Подождите немного. Документ загружается.

( ) ( )

∫

∞

∞−

∆∆−∆=

dfm

а т.к. m = 0 (можно доказать), то

( )

=∆∆⋅∆=

∫

−

Вышеприведенный результат можно получить другим способом. По-

скольку известно, что

( ) ( )

êí

=∆=∆

σσ

, а

кн

ttt

+=∆

∑

, то

( )

( ) ( )

222

ttt

êí

=∆+∆=∆

∑

σσσ

( )

=∆

∑

В случае синхронизированного квантования дисперсия погрешности со-

ответствует дисперсии конца измеренного ВИ

( )

=∆

, поскольку

∆

=0.

Следовательно, среднеквадратическая погрешность синхронизированного

квантования составляет

êñ

Также при цифровых измерениях имеют место дискретные законы рас-

пределения погрешностей измерения. Рассмотрим пример такой погрешно-

сти.

2.4. Закон распределения погрешности несинхронизированного кванто-

вания фиксированного временного интервала

Измеряем временной интервал, длительность которого имеет постоян-

ное (фиксированное) значение

τ∆+⋅=τ

где n – число импульсов, попадающих внутрь измеряемого интервала

;

τ∆

дробная часть измеряемого ВИ;

- период следования квантующих импуль-

сов, поступающих с генератора тактовых импульсов (ГТИ).

Число квантующих импульсов

определяется как:













где

[]

- целая часть числа, например

[ ]

35.

=0.3.

Дробная часть измеряемого интервала определяется из соотношения:

⋅













=τ∆

где

{}

- дробная часть числа, например

{ }

3035 ..

На рис. 2.20 представлены случаи квантования фиксированного ВИ для

различных случаев расстановки последовательности квантующих импульсов

и измеряемого ВИ.

∆

τ∆+

∆

2 3 4 5 6

2 3

5 6

7 8

∆

01измкн

nt;t;0t

=ττ∆=∆=∆

01изм0к0н

nt;tt;tt

=τ=∆τ∆−=∆

( )

02измк0н

t1n;t;tt

+=τ∆τ∆−>∆

Рис. 2.20. Варианты расстановки измеряемого ВИ и квантующих импульсов

Исходя из рассмотрения рис. 2.20 получено, что при

( )

τ∆−∈∆

0 t:t

èçì

=τ

Погрешность измерения:

τ∆−=τ∆−−=τ−τ=τ∆

0011

ntnt

èçì

При

( )

t:tt

τ∆−∈∆

1 t)n(

èçì

+=τ

Погрешность измерения:

τ∆−=τ∆−−+=τ∆−−+=τ−τ=τ∆

00000022

1 tnttntntt)n(

èçì

Найдем вероятность того, что погрешность

∆

будет находиться в ин-

тервале

( )

τ∆−

0 t:

. Известно, что

∆

имеет равномерный закон распределе-

ния в интервале

( )

0 t:

. График плотности распределения погрешности изме-

рения начала временного интервала приведен на рис. 2.21.

Вероятность попадания случайной величины в интервал представляет

собой отношение длины этого интервала к длине интервала всех возможных

попаданий случайной величины т.е.:

τ∆

−=

τ∆−

Найдем вероятность того, что погрешность

∆

будет находиться во

втором интервале

( )

t:tt

τ∆−∈∆

Длина второго интервала:

τ∆=τ∆−−

)t(t

, отсюда

τ∆

)t(f

∆

τ∆−

∆

Рис. 2.21. Определение вероятности попадания погрешности

∆

в заданные интервалы

Таким образом, получено, что при несинхронизированном квантовании

фиксированного интервала времени погрешность измерения принимает два

дискретных значения, т.е. является дискретной случайной величиной. Для

описания дискретных случайных величин используется ряд распределения,

который представляет собой таблицу, в которой находятся возможные значе-

ния, принимаемые случайной величиной Х, а также вероятности их появле-

ния:

Табл.2.1. Ряд распределения дискретной случайной величины

∆

….

∆

….

В нашем случае, погрешность несинхронизированного квантования

фиксированного временного интервала может принять всего два значения:

τ∆−=∆

с вероятностями, найденными выше.

Отсюда ряд распределения погрешности несинхронизированного кван-

тования фиксированного интервала времени имеет вид:

Табл.2.2 Ряд распределения погрешности квантования фиксированного ВИ

∆

τ∆−

τ∆

−

τ∆

Таким образом, найден закон распределения погрешности несинхрони-

зированного квантования фиксированного временного интервала. Осталось

определить числовые характеристики этой погрешности, а именно: математи-

ческое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины определя-

ется по формуле:

( )

P)(M

=τ∆+τ∆−=

τ∆

−

τ∆

+τ∆−=

τ∆

τ∆−+













τ∆

−τ∆−=∆=∆

∑

Итак, математическое ожидание погрешности несинхронизированного

квантования априорно неизвестного временного интервала равно нулю.

Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле:

[ ]

).t(tt

)tt(

)t(

P)(M)(D

τ∆−τ∆=τ∆−τ∆=τ∆−τ∆+τ∆=

τ∆

−

τ∆

−τ∆=

τ∆

τ∆+τ∆−+

τ∆

−τ∆=

τ∆

τ∆−+













τ∆

−τ∆=∆−∆=∆

∑

Отсюда среднеквадратическая погрешность несинхронизированного

квантования фиксированного ВИ составляет:

)t(D

τ∆−τ∆=+=σ

На рис. 2.22 приведен график зависимости

)(f

τ∆=σ

τ∆

t5.0

=τ∆

=σ

000

=⋅=σ

=σ

t5.0

)(

τ∆σ

Рис. 2.22. Зависимость среднеквадратической погрешности от величины дробной части из-

меряемого ВИ

Таким образом, погрешность квантования фиксированного временного

интервала зависит от величины этого интервала. Когда длительность времен-

ного интервала кратна

, то погрешность равна нулю, если она составляет

– то погрешность максимальна.

2.5. Доверительное значение погрешности

Доверительное значение погрешности соответствует половине довери-

тельного интервала при заданной доверительной вероятности

. Довери-

тельное значение погрешности определяется на основе решения следующего

уравнения:

)(F)(Fd)(fP

äää

∆−−∆=∆∆=

∫

∆

∆−

где

)(f

∆

- плотность распределения погрешности измерения

∆

)(F

∆

- ин-

тегральная функция распределения погрешности

∆

Исходя из вышеприведенного выражения, связывающего значения до-

верительной вероятности с доверительным значением погрешности результа-

та измерения, значение доверительной вероятности

представляет собой

площадь, ограниченную

( )

∆

на доверительном интервале (-

∆

;

∆

) (рис.

2.23). При этом считается, что систематическая погрешность измерений от-

сутствует.

)(f

∆

∆−

Рис. 2.23. Взаимосвязь между значениями доверительной вероятности и доверительной по-

грешности

При симметричной плотности распределения вероятностей для инте-

гральной функции распределения вероятностей выполняется условие:

)(F)(F

ää

∆−=∆−

следовательно:

)ä(F)(FP

ää

∆−−=−∆=

2112

Следует отметить, что доверительное значение погрешности оказывает-

ся пропорциональным среднеквадратическому значению погрешности

σ=∆

где

– коэффициент, зависящий от вида закона распределения и значения

доверительной вероятности

Для нормального распределения коэффициент

определяют, решая

следующее уравнение:

)t()t(P

−Φ−Φ=

или

1212

−

∆

Φ=−Φ=

)()t(P

отсюда

ää

)(

∆

. (2.6)

Решая (2.6) определяют коэффициент

∆

, а затем по известной

находят

∆

Значение коэффициента

можно найти по следующим приближенным

формулам.

Для экспоненциальных законов распределения, к которым относится

нормальный, справедливо следующее соотношение:

( )

[ ]

)P/(lglg

...t

−

−ε≈

6183621

где

–эксцесс распределения.

Погрешности аппроксимации

для

%)..(P%,)..(P

ää

89990990499090

=÷∈=÷∈

Для уплощенных законов распределения, к которым относится также

равномерный справедливо следующее соотношение:

( )

[ ]

)P/(.lg

..t

−













−ε

+⋅=

110

580

121561

Значение коэффициента

в соответствии с вышеприведенной форму-

лой определяется с погрешностью не более 8%.

Для кругловершинных двумодальных законов распределения коэффи-

циент

определяется соотношением:

[ ]

{ }

[ ]

)P(lglg

)lg(..t

−

−ε+⋅⋅=

116361

– с погрешностью 10% в интервале

от 0.9 до 0.99.

Для островершинных двумодальных законов распределения













−

−ε

1750

1231

– с погрешностью 5% для

от 0.9 до 0.999.

Построим зависимости

от

∆

, т.е.













∆

1.60

Нормальный

Симпсона

Равномерный

Рис. 2.24. Зависимость

от

Как видно из рис. 2.24, все три зависимости пересекаются в окрестности

точки с координатами

=0.9, при этом t=1.6. Этим свойством обладают и

другие законы распределения погрешностей. На основании этого свойства

можно рекомендовать для

=0.9, независимо от закона распределения вы-

бирать

σ⋅=∆

61.

На практике, при вычислении

∆

часто возникают затруднения с выбо-

ром

. Учитывая, что чаще всего приходиться иметь дело с ограниченным

числом измерений, не рекомендуется брать слишком большие значения дове-

рительной вероятности

. Обычно выбор

95090 ..P

÷=

является приемле-

мым.

Для нормального закона распределения построим таблицу, иллюстриру-

ющую зависимость доверительной вероятности

от коэффициента

Табл.2.3. Зависимость доверительной вероятности от коэффициента t для нормального за-

кона распределения

∆

1 1.5 1.64 2.0 2.6 3.0

0.68 0.87 0.9 0.95 0.99 0.9973

Отсюда возникает известное из математики правило “трех сигм”, кото-

рое говорит, что с вероятностью 99.73% для нормального распределения ре-

зультаты экспериментов будут находиться в пределах

σ±

от истинного зна-

чения измеряемой величины.

Для различных средств измерений при заданной доверительной вероят-

ности величина доверительного интервала различна. На рис.31 приведена за-

висимость значения доверительного интервала для различных групп средств

измерений при постоянной доверительной вероятности. Из рисунка следует,

что минимальным значением доверительного интервала и доверительной по-

грешности обладают эталоны, затем по мере увеличения значения допусти-

мой доверительной погрешности следуют образцовые средства измерений, а

затем рабочие средства измерений. Цифрами на рис. 2.25 обозначен класс

точности средств измерений.

∆

Точность

Эталоны

Образцовые

средства

измерения

constP

Доверительный интервал

Рабочие

средства

измерения

Наивысшая

Низшая

Рис. 2.25. Доверительный интервал в зависимости от класса точности средств измерений.

С уменьшением значения доверительного интервала, повышается стои-

мость и сложность построения прибора.

2.6. Показатели точности измерений, рекомендованные ГОСТ 8.011-72

Обозначение погрешности в соответствии с ГОСТ 8.011–72:



∆+∆=∆

где

∆

– общая (суммарная) погрешность измерения,

∆

– систематическая

составляющая погрешности измерения,



∆

– случайная составляющая по-

грешности.

ГОСТ 8.011–72 устанавливает количественные показатели точности из-

мерений, способы их выражения и форму представления результатов измере-

ний. В соответствии с ГОСТ, точность измерений выражается следующими

способами.

1). Интервалом, в котором с установленной вероятностью находиться

суммарная погрешность измерения.

Форма представления в этом случае должна быть следующей:

äâí

P;äîîò;A

∆∆∆

;

где A – результат измерения в единицах измерений величины;

∆

– погреш-

ность измерения;

∆

– нижняя граница погрешности измерения;

∆

– верх-

няя граница погрешности измерения, причем

∆

выражаются в тех

же единицах, что и А;

– установленная (доверительная) вероятность по-

грешности измерения в этих границах.

Пример: 31.4 В;

∆

от –0.2 В до 0.2;

=0.90.

2). Интервалом, в котором с установленной вероятность находиться си-

стематическая составляющая погрешности измерения, стандартной аппрокси-

мацией функции распределения случайной погрешности измерения и ее сред-

неквадратическим значением.

Форма представления результатов измерения:

)(f);(;P;äîîò;A

ñò

äñâñíñ



∆∆σ∆∆∆

где

∆

ñí

∆

ñâ

∆

– соответственно систематическая составляющая погрешно-

сти измерения и нижняя и верхняя ее границы в единицах измеряемой ве-

личины;

– заданная (доверительная) вероятность систематической состав-

ляющей погрешности в этих границах;



∆

– оценка среднеквадратического

отклонения случайной составляющей погрешности измерения в единицах из-

меряемой величины;

)(f

ñò



∆

– стандартная аппроксимация функции распре-

деления случайной погрешности измерения, выбираемая из перечня, приве-

денного в ГОСТ 8.011–72.

Стандартные распределения, рекомендации:

1). Равномерный закон распределения

2). Усеченный нормальный

3). Усеченный релеевский

4). Островершинный и плосковершинный закон распределения

Пример: 10.75 Гц;

∆

от 0.15 Гц до 0.25 Гц;

=0.95,

)(



∆σ

=0.2 Гц; равн.

3). Стандартными аппроксимациями функций распределения статисти-

ческой и случайной составляющих погрешностей измерения и их средними

квадратическими отклонениями.

)(f);();(f);(;A

ñò

ññòñ



∆∆σ∆∆σ

;

где

)(

∆σ

– оценка среднеквадратического отклонения (СКО) случайной со-

ставляющей погрешности измерений в единицах измеряемой величины;

);(



∆σ

–оценка СКО случайной составляющей погрешности измерений в еди-

ницах измеряемой величины;

)(f

ññò

∆

)(f

ñò



∆

– стандартные аппроксимации

функции распределения систематической и случайной составляющих погреш-

ностей измерений соответственно, выбирается из перечня, приведенного в

ГОСТ 8.011–72.

Пример: 150.07 В;

;ðàâí;Â.)(

330

=∆σ

;норм;В01.0)(

=∆σ



4). Функциями распределения систематической и случайной составляю-

щих погрешности измерения.

)(f);(f;A



∆∆

где

)(f);(f



∆∆

– соответственно функции распределения (плотности) систе-

матической и случайной составляющей погрешности измерения, задаваемые

таблицами (с указанием масштаба) или формулами (с указанием численным

значений параметров).

Пример неправильной записи: 31.4 В;

∆

от –0.151 до 0.151 В.

В соответствии с рекомендациями ГОСТ, число значащих цифр в по-

грешности должно быть не более двух. Значащие разряды погрешности и ре-

зультата измерения тоже должны совпадать.

2.7. Погрешности косвенных измерений

При косвенном измерении результаты, полученные прямыми измерени-

ями, являются исходными данными для дальнейших вычислений. Наличие

погрешности прямых измерений приводит к тому, что окончательный ре-

зультат, т.е. результат косвенного измерения, также имеет погрешность. Зада-

ча оценки погрешности результата косвенного измерения является частным