Аксенова Е.Н. Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений

Подождите немного. Документ загружается.

После нанесения точек строиться график, т.е. проводится предсказанная

теорией плавная кривая или прямая так, чтобы она пересекала все

области погрешностей или, если это не возможно, суммы отклонений

экспериментальных точек снизу и сверху кривой должны быть близки. В

правом или в левом верхнем углу (иногда посередине) пишется

название той зависимости, которая изображается графиком.

Исключение составляют градуировочные графики, на которых точки,

нанесенные без погрешностей, соединяются последовательными

отрезками прямых, а точность градуировки указывается в правом

верхнем углу, под названием графика. Однако, если в процессе

градуировки прибора абсолютная погрешность измерений изменялась,

то на градуировочном графике наносятся погрешности каждой

измеренной точки. (Такая ситуация реализуется при градуировке шкалы

«амплитуда» и «частота» генератора ГСК при помощи осциллографа).

Градуировочные графики служат для отыскания промежуточных

значений линейных интерполяций.

Графики выполняются карандашом и вклеиваются в лабораторный

журнал.

3. Линейные аппроксимации [1,7]. В экспериментах часто требуется

построить график зависимости полученной в работе физической

величина Y от полученной физической величины х, аппроксимируя Y(x)

линейной функцией

bkxY 

, где k, b – постоянные. Графиком такой

зависимости является прямая, а угловой коэффициент k, часто сам

является основной целью эксперимента. Естественно, что k в этом

случае представляет собой также физический параметр, который

должен быть определен с присущей данному эксперименту точностью.

Одним из методов решения данной задачи является метод парных

точек, подробно описанный в [1,6]. Однако следует иметь в виду, что

метод парных точек применим при наличии большого числа точек n ~

10, кроме того, он является достаточно трудоемким. Более простым и

при его аккуратном исполнении, не уступающим в точности методу

парных точек, является следующий графический метод определения

kk 

1) По экспериментальным точкам, нанесенным с погрешностями, проводится

прямая с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Основополагающей идеей аппроксимации по МНК является минимизация

суммарного среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от

искомой прямой

bkxY 

При этом коэффициенты

bk;

определяются из условий минимизации:

  







yxY

Здесь

yx ,

- экспериментально измеренные значения, n – число

экспериментальных точек.

В результате решения данной системы имеем выражения для расчета

коэффициентов

bk;

по экспериментально измеренным значениям:

 

   

 

  

 

   

 

  













iiiii

iiii

xnx

xynxyx

xnx

yxnxy

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

)(

2) После вычисления коэффициентов проводится искомая прямая. Затем

выбирается экспериментальная точка, имеющая наибольшее, с учетом ее

погрешности, отклонение от графика в вертикальном направлении Y

max

как

указано на рис 2. Тогда относительная погрешность k/k, обусловленная

неточностью значений Y,

minmax

max

























, где

 

minmax

YY 

измерительный интервал значений Y от max до min. При этом в обеих частях

равенства стоят безразмерные величины, поэтому Y

max

 

minmax

YY 

можно одновременно вычислять в мм по графику или одновременно брать с

учетом размерности Y.

3)Аналогично вычисляется относительная погрешность

kk )(

обусловленная погрешностью при определении х.

minmax

max





























Если одна из погрешностей, например,

kk 

, или

величина х имеет очень малые погрешности х, незаметные на графике,

то можно считать k= k

5) Абсолютная погрешность k=k*k. В результате

kkkk *





Рис. 2.

Литература:

1. Светозаров В.В. Элементарная обработка результатов измерений, М.,

МИФИ, 1983.

2. Светозаров В.В. Статистическая обработка результатов измерений.

М.:МИФИ.1983.

3. Худсон. Статистика для физиков. М.:Мир, 1967.

4. Тейлор Дж.З. Введение в теорию ошибок. М.:Мир.1985.

5. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Изд-во стандартов,

1967.

6. Лабораторный практикум «Измерительные приборы»/ под ред.

Нерсесова Э.А., М., МИФИ, 1998.

7. Лабораторный практикум «Электроизмерительные приборы.

Электромагнитные колебания и переменный ток»/ Под ред.

Аксеновой Е.Н. и Федорова В.Ф., М.,МИФИ, 1999.

Приложение 1

Таблица Коэффициентов Стьюдента

n/p 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99

3,08

1,89

1,64

1,53

1,48

1,44

1,42

1,40

1,38

1,37

l,363

1,36

1,35

1,34

1.33

1,33

6,31

2,92

2,35

2,13

2,02

1,94

1,90

1.86

1,83

1,81

1,80

1,78

1,77

1,76

1,75

1,74

1,73

12,71

4,30

3.18

2,77

2,57

2,45

2,36

2,31

2,26

2.23

2,20

2,18

2,16

2,14

2,13

2,12

2,11

2,10

31,8

6,96

4,54

3,75

3,36

3.14

3,00

2,90

2,82

2,76

2,72

2,68

2,65

2,62

2,60

2,58

2,57

2,55

63,7

9,92

5,84

4,60

4,03

4,71

3,50

3,36

3,25

3,17

3,11

3,06

3,01

2,98

2,95,

2,92

2,90

2,88