Ахмадеев Р.В., Вавилова И.В., Грахов П.А. и др. Электрические и магнитные цепи

1

R

U

&

= R

1

I

&

= 10⋅1e

j37

°

= 10e

j37

°

В;

2

R

U

&

= R

2

I

&

= 40⋅1e

j37

°

=40e

j37

°

В;

L

U

&

= Z

L

I

&

= (j X

L

)

I

&

= ( j 40) ⋅ 1e

j37

°

= 40е

j90

°

⋅ 1e

j37

°

= 40e

j127

°

B.

Располагаем вектор тока

I

&

в выбранном масштабе под

углом ψ

I

к оси действительных

чисел, откладывая этот угол

37° против часовой стрелки

(как и все положительные

значения углов).

Геометрическая сумма

всех векторов

∑

I

U

&

равна

вектору входного напряжения

ВХ

U

&

, который располагается

вдоль оси вещественных чисел

(начальная фаза равна нулю).

Построение на векторной

диаграмме векторов

напряжений производим

последовательно – к концу одного вектора прикладываем начало

следующего вектора в соответствии с уравнением (4.2).

Векторы напряжений на резистивных элементах

1

R

U

&

и

2

R

U

&

совпадают по фазе с током и располагаются параллельно вектору

I

&

.

Вектор напряжения на емкостном элементе

С

U

&

отстает по фазе от

вектора

I

&

на 90°, а вектор напряжения на индуктивном элементе

L

U

&

опережает по фазе вектор тока

I

&

на 90°. Вектор напряжения

аb

U

&

определяется также в соответствии со вторым законом Кирхгофа

как

LRbа

UUU

&

+=

2

и располагается перпендикулярно оси вещественных чисел (ψ

Uаb

=

90°).

Решить задачу 4.2 самостоятельно, исходя из данных табл. 4.2.

Номер варианта выдается преподавателем.

Рис. 4.5

m

U

= 10 B/см

m

I

= 0,1A/см

IjXU

LL

&&

=

I

&

IRU

R

&

11

=

+j

+1

IjXU

сС

&

−

=

ВХ

U

&

LRbа

UUU

&

+=

2

ψ

I

=37

°

IRU

R

&

22

=

Задача 4.3. В цепи с параметрами, заданными в Омах,

протекает ток )20sin(2 °+ω= ti (рис. 4.6). Определить между

какими точками в этой цепи будет наблюдаться наибольшее

напряжение. Задачу рекомендуется решать с помощью векторной

диаграммы.

m

e

d

с

a

b

f

n

X

L

2

=6

R

2

=7

R

1

=9

X

L

1

=12

R

3

=8

X

C

1

=10

X

C

2

=10

U

&

Рис.4.6

Решение

Проведем расчет двумя способами.

Первоначально рассмотрим следующий алгоритм расчета

цепи: представляем все электрические величины (

I

&

, Z

i

) в

комплексной форме, определяем полное комплексное сопротивление

цепи Z

mn

и далее определяем комплексное напряжение

mn

U

&

на входе, а

также комплексные напряжения на отдельных участках цепи

ij

U

&

:

mn

U

&

=

I

&

Z

mn

;

ij

U

&

=

I

&

Z

ij

. (4.3)

Запишем комплексное значение тока в цепи. Модуль

комплексного тока равен действующему значению тока I = I

m

/

2

=

1A, а аргумент комплексного числа равен начальной фазе ψ

i

=20°;

I

&

=

i

j

eI

ψ

=1e

j20

°

А.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательным

соединением элементов Z

mn

равно сумме комплексных сопротивлений

этих элементов

Z

mn

= j X

L1

+ R

1

+ R

2

- j X

C 1

+j X

L2

+ R

3

- j X

C 2

=

= R

1

+ R

2

+ R

3

+ j(X

L1

+X

L2

- X

C1

-X

C 2

) = R + j X = 24 – j2 Ом .

В показательной форме записи

Z

mn

= Z e

j

ϕ

= 24,083 e

-j4,76

°

Ом;

где Z

083

,24)2(24

2222

=−+=+= XR Ом;

=

−

==ϕ

24

2

arctgarctg

R

X

– 4,76°.

Следовательно,

mn

U

&

= Z

mn

I

&

= 24,083e

- j4,76

°

1e

j20

°

= 24,083e

j15,24

°

В.

Определяем комплексные напряжения на элементах цепи:

1

L

U

&

= (jX

L1

)

I

&

=(j12) ⋅1e

j20

°

= 12 е

j90

°

⋅ 1e

j20

°

= 12e

j110

°

B;

2

L

U

&

= (jX

L2

)

I

&

= ( j6) ⋅1e

j20

°

= 6е

j90

°

⋅ 1 e

j20

°

= 6e

j110

°

B;

1С

U

&

= (- j X

C1

)

I

&

= (- j10) ⋅1e

j20

°

= 10 е

-j90

°

⋅ 1e

j20

°

=10е

–j70

°

B; (4.4)

2С

U

&

= (- j X

C1

)

I

&

= (- j 10) ⋅1 e

j20

°

= 10е

-j90

°

⋅1e

j20

°

= 10е

–j70

°

B;

1

R

U

&

= R

1

I

&

=9⋅1e

j20

°

= 9e

j0

°

⋅

1e

j20

°

= 9e

j20

°

В;

2

R

U

&

= R

2

I

&

=7⋅1e

j20

°

=7e

j 0

°

⋅1e

j20

°

=7e

j20

°

В;

3R

U

&

= R

2

I

&

=8⋅1e

j20

°

= 8e

j 0

°

⋅

1e

j20

°

=8e

j20

°

В.

Далее определяем комплексные сопротивления различных участков

цепи Z

ij

:

Z

mb

=R

1

+j X

L1

=9+ j12 = 15e

j53

°

Ом;

Z

mс

= R

1

+ R

2

+ j X

L1

=16+ j12=20e

j37

°

Ом;

Z

md

=R

1

+ R

2

+ j( X

L1

- X

C1

)=16+j2=16,125 e

j7,125

°

Ом;

Z

me

= R

1

+ R

2

+ j( X

L1

+X

L2

- X

C 1

)=16+j8 = 17,89e

j26,56

°

Ом;

Z

mf

= R

1

+ R

2

+ R

3

+ j( X

L1

+X

L2

- X

C1

) =24+j8=25,3e

j18,43

°

Ом;

Z

an

= R

1

+ R

2

+ R

3

+ j (X

L2

- X

C1

-X

C2

) = 24 - j14=27,78 e

-j30,26

°

Ом;

Z

bn

= R

2

+ R

3

+ j (X

L2

- X

C1

-X

C2

) = 15 - j14=20,52 e

-j43

°

Ом;

Z

сn

= R

3

+ j (X

L2

- X

C1

-X

C2

) = 8 - j14 =16,125 e

-j60,25

°

Ом;

Z

dn

= R

3

+ j (X

L2

- X

C2

) = 8 - j4=8,25 e

-j26,56

°

Ом;

Z

en

= R

3

- j X

C3

= 8 – j10=12,8 e

-j51,34

°

Ом;

Z

af

= R

1

+ R

2

+ R

3

+ j(X

L2

- X

C1

)=24 -j4=24,33 e

-j9,46

°

Ом;

Z

bf

= R

2

+ R

3

+ j(X

L2

- X

C1

)=15 - j4=15,5 e

-j14,9

°

Ом;

Z

сf

= R

3

+ j(X

L2

- X

C1

) =8 -j4=8,94 e

-j26,56

°

Ом;

Z

df

= R

3

+ jX

L2

=8+j6=10 e

j37

°

Ом;

Z

bе

= R

2

+ j (X

L2

- X

C1

) = 7 - j4= 8,06 e

-j29,7

°

Ом;

Z

aе

= R

1

+ R

2

+ j (X

L2

- X

C1

) = 16 - j4=16,5 e

-j14

°

Ом;

Z

ad

= R

1

+ R

2

- j X

C1

= 16 -j10=18,87 e

-j29

°

Ом;

Z

ac

= R

1

+ R

2

= 16

°

Ом;

Z

ce

= j (X

L2

- X

C1

) = -j4=4e

-j90

°

Ом.

И, наконец, можем определить в соответствии с (4.3)

напряжения на всех участках

ij

U

&

= Z

ij

I

&

. Однако очевидно, что при

последовательном соединении элементов по всем элементам

протекает один и тот же ток, и, следовательно, максимальное

напряжение будет соответствовать участку цепи с максимальным по

модулю сопротивлением, то есть это участок между точками а и n

na

U

&

= Z

an

I

&

=27,78e

-j30,26

°

⋅1e

j20

°

=27,78e

-j10,26

°

В.

Таким образом, максимальное напряжение U

an

составляет

27,78В.

Проведем расчет другим способом.

Построим векторную диаграмму цепи (рис.4.7), для которой, в

соответствии со вторым законом Кирхгофа, справедливо:

mn

U

&

=

1

L

U

&

+

1

R

U

&

+

2

R

U

&

+

1С

U

&

+

2

L

U

&

+

3R

U

&

+

2С

U

&

Рис. 4.7

a

b

с

d

e

n

m

1L

U

&

1R

U

&

2R

U

&

1C

U

&

2L

U

&

3R

U

&

2C

U

&

ψ

I

=20

°

an

U

&

I

&

m

u

=

2 B/см

m

I

=

0,1

A/

см

+1

+j

mn

U

&

ϕ

Из векторной диаграммы, в результате простых и очевидных

геометрических соображений, приходим к выводу, что вектор между

точками а и n имеет наибольшую длину, то есть наибольший модуль

напряжения U

an

.

Рассчитать его можно следующим образом:

U

an

=

2

212

2

321

)()(

CCLRRR

UUUUUU −−+++ =

=

22

)10106()879( −−+++ =27,78 В.

Таким образом, получаем тот же результат, что и в предыдущем

случае, однако при большей наглядности и меньших затратах

времени на вычислительные операции.

Решить задачу 4.3 самостоятельно, в соответствии с данными

табл. 4.3. Номер варианта выдается преподавателем.

Задача 4.4. В неразветвленной электрической цепи, содержащей

R=40 Ом, Х

L

=7 Ом и X

C

=10 Ом, приложенное напряжение U=220 В

при частоте f=50 Гц.

Определить частоту f

о

, при которой возникает резонанс

напряжений, ток I

o

, а также полную мощность S

o

цепи при резонансе.

Решение

В цепи (рис. 4.8) с последовательно

соединенными R, L, C – элементами

возможен режим, когда реактивное

сопротивление X=0 и ϕ = 0, что имеет

место при равенстве абсолютных

значений и индуктивного и емкостного

сопротивлений, т. е. при

CL

XX = . При

этом выполняется условие

CL

UU = и ϕ

=0, причем действующие значения этих

напряжений могут превышать

напряжение U на зажимах цепи.

Режим работы электрической цепи при последовательном

соединении активного, индуктивного и емкостного элементов, когда

R

U

&

U

&

C

U

&

L

U

&

I

&

R

C

L

Рис. 4.8

угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю,

называется резонансом напряжений.

Следовательно, при резонансе напряжений X = X

L

- X

C

=0, или

X

L

=X

C

.

Из равенства реактивных сопротивлений ωL=1/ωC следует, что

режим резонанса напряжений в электрической цепи возникает при

частоте

LC

f

π

=

2

1

o

,

называемой резонансной, которая определяет частоту незатухающих

колебаний данной цепи и характеризует установление в ней

наибольшего тока I

mах

, так как при этом Z→ min.

Определим индуктивность L и емкость C рассматриваемой цепи по

величинам заданных реактивных сопротивлений:

L = X

L

/ω = X

L

/(2πf)= 7 / (2π⋅50) =22,28 ⋅ 10

–3

Гн =22,28 мГн ,

C =1 /(ω X

C

) =1 /(2πf X

C

) =1/(2π ⋅50⋅10)= 3,183⋅ 10

–4

Ф =318,3 мкФ.

Подставим полученные значения L и C в (4.5) определим

резонансную частоту

43

o

10183,310 22,28π2

1

−−

⋅⋅⋅

=f = 59,765 ≈ 60 Гц.

Определим ток I

o

, а также полную мощность S

o

цепи при

резонансе.

Модуль комплексного сопротивления цепи (полное

сопротивление)

( )

2

222

CL

XXRXRZ −+=+= ,

и так как при резонансе напряжений X = X

L

- X

C

=0, то при этом

Z→ min Z=R, а угол сдвига фаз

0

arctgarctgarctg ==

−

==ϕ

R

XX

R

X

CL

.

Следовательно, модуль комплексного тока цепи (равный

действующему значению тока цепи) при резонансе

I

o

= U / R = 220 / 40 = 5,5 A.

Полная мощность цепи при резонансе:

S = U I

o

= 220⋅ 5,5 = 1210 BA.

Решить задачу 4.4 самостоятельно, используя данные табл. 4.4.

Номер варианта выдается преподавателем.

Варианты заданий к самостоятельной работе

Таблица 4.1

Вариант Параметры

1 2 3 4 5 6 7 8

U

m

, В 141 14,1 282 28,2 42,3 56,4 84,6 98,7

ψ

u

, рад -π /4 π /6 π /2 π /3 -π /3 -π /6 π /4 -π /2

X

C

,Ом 60 12 60 4 12 24 24 12

X

L

,Ом 30 6 120 12 4 8 12 24

R

K

,Ом 40 8 80 6 6 12 16 16

Таблица 4.2

Вариант Параметры

1 2 3 4 5 6 7 8

U

ВХ

, В 60 100 80 40 120 200 220 380

X

C

,Ом 60 120 60 4 120 240 240 120

X

L

,Ом 30 60 120 12 40 80 120 240

R

1

,Ом 30 40 30 2 30 20 60 100

R

2

,Ом 10 40 50 4 30 100 100 60

Таблица 4.3

Вариант Параметры

1 2 3 4 5 6 7 8

I

m

, А 5,64 0,846 42,3 1,41 0,564 0,987 5,64 4,23

ψ, рад π /8 -π /4 π /8 -π /8 -π /5 π /7 -π /6 π /10

X

C1

,Ом 6 120 0,6 4 12 60 24 12

X

C2

,Ом 8 60 1 8 18 30 12 18

X

L1

,Ом 2 60 1,2 12 4 40 16 24

X

L2

,Ом 10 80 2 2 24 80 10 4

R

1

,Ом 3 20 0,3 2 3 20 6 10

R

2

,Ом 1 40 0,5 4 12 100 10 6

R

3

,Ом 2 60 2 12 8 60 160 20

Таблица 4.4

Вариант Параметры

1 2 3 4 5 6 7 8

U, В 60 100 80 40 120 200 220 380

f, Гц 100 50 200 400 50 100 200 400

X

C

, Ом 60 12 60 4 12 24 24 12

X

L

, Ом 30 6 120 12 4 8 12 24

R, Ом 40 8 80 6 6 12 16 16

ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ

ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Типовые задачи

Задача 5.1. Определить полную

проводимость цепи. Параметры

элементов указаны на схеме в Ом

(рис. 5.1).

Решение

Цепь содержит три

параллельные ветви и,

следовательно, ее полная

комплексная проводимость Y равна сумме комплексных

проводимостей отдельных ветвей:

Y = Y

1

+ Y

2

+ Y

3

= 1/Z

1

+ 1/Z

2

+ 1/Z

3

=

= 1/(R

1

+jX

L

) + 1/(-jX

C

) + 1/R = G

1

– jB

L

+ jB

C

+ G

3

=Y e

j

ϕ

, (5.1)

где

,;;;

2

1

22

1

2

3

2

1

22

1

C

L

X

l

B

Z

X

ХR

X

B

R

l

G

Z

R

ХR

R

G ==

+

===

+

=

( ) ( )

,

22

31 CL

BBGGY +−++=

2

1

arctg

GG

BB

CL

+

−

=ϕ .

Здесь Y – модуль комплексной проводимости (или полной

проводимости); ϕ – угол, определяющий сдвиг по фазе напряжения

U

&

и тока

I

&

.

В соответствии с выше записанным выражением проведем расчет

полной проводимости Y и угла ϕ

G

1

=6 / (6

2

+8

2

) =0,06 См; G

3

= 1/ 10 = 0,1 См ;

B

L

= 8 / (6

2

+8

2

) = 0,08 См; B

C

=1/5 =0,2 См;

( ) ( )

22

2,008,01,006,0 +−++=Y = 0,2 См ;

1,006,0

2,008,0

arctg

+

−

=ϕ = 36,87°С ≈ 37°С.

Рис. 5.1

R

2

=10

R

1

=6

X

C

=5

X

L

=8

Полная комплексная проводимость Y в соответствии с формулой

(5.1):

Y =Ye

j

ϕ

= 0,2е

j37

°

См .

Решить задачу 5.1. самостоятельно, используя данные табл. 5.1.

Номер варианта выдается преподавателем.

Задача 5.2. Определить показания амперметров, если U =220 В.

Параметры элементов указаны на схеме в Ом (рис.5.2). Построить

векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение

Цепь содержит три

параллельные ветви и,

следовательно, на каждой из них

действует одно и тоже напряжение

U.

Представим напряжение в

комплексной форме

U

&

, приняв его

начальную фазу ψ

U

равной нулю,

U

&

=220е

j0

B.

Определим по закону Ома комплексные токи в ветвях

1

I

&

,

2

I

&

и

3

I

&

:

1

I

&

=

U

&

/(-jX

C

) =220 е

j0

/(-j4)=

=220 е

j0

/(40 е

- j90

°

) =5,5 е

j90

°

A;

2

I

&

=

U

&

/(-jX

L

)= 220 е

j0°

/(j100)=220 е

j0°

/(100 е

j90

°

) =2,2 е

- j90

°

A; (5.3)

3

I

&

=

U

&

/(R)= 220 е

j0°

/(50) =4,4 е

j0

°

A .

Модули комплексных токов являются действующими

значениями токов в ветвях, следовательно, показания амперметров

составят:

РА

1

= 5,5 А; РА

2

= 2,2 А; РА

3

= 4,4 А.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 5.3).

Вектор напряжения

U

&

располагается вдоль оси вещественных

чисел (в соответствии с принятым значением начальной фазы ψ

U

).

Вектор тока

1

I

&

в первой ветви с емкостным элементом опережает

напряжения на 90° и располагается вдоль оси мнимых чисел. Вектор

Рис. 5.2

X

c

=40

R=50

X

L

=100

U

&

A

3

A

2

A

1

A

Ахмадеев Р.В., Вавилова И.В., Грахов П.А. и др. Электрические и магнитные цепи

Подождите немного. Документ загружается.