Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

1.3. Основные свойства жидкостей и газов

Основной механической характеристикой жидкости или га-

за является их плотность. Плотностью называется масса жид-

кости, заключенная в единице объема и для однородной среды:

 

. (1.1)

В системе СИ плотность измеряется в кг/м

Удельным весом является вес единицы объема жидкости

 

. (1.2)

В единицах системы СИ удельный вес измеряется в Н/м

Связь между удельным весом γ и плотностью ρ легко опре-

делить, если учесть, что сила тяжести равна G = mg.

Часто на производстве плотность жидкости выражают через

относительную плотность, равную отношению плотности

жидкости ρ

к плотности воды ρ

при 4 ÐС:



 



. (1.3)

Плотность и удельный вес капельных жидкостей значитель-

но выше, чем соответствующие характеристики упругих жидко-

стей (газов), и незначительно изменяются под действием давле-

ния и температуры. Напротив, плотность газов зависит от этих

параметров и может быть рассчитана по уравнению состояния

для идеальных газов:

  или

   , (1.4)

где ρ

, Р

, Т

– плотность, давление и температура газа при нор-

мальных условиях; ρ, P, T – плотность, давление и температура

газа при заданных условиях. Величина обратная плотности назы-

вается удельным объемом.

Сжимаемость – свойство жидкости изменять свой объем

под действием сил давления, характеризуется коэффициентом

объемного сжатия β

, который представляет собой относительное

изменение объема жидкости (газа), приходящееся на единицу

давления, т.е.

V P



  



. (1.5)

Знак минус обусловлен тем, что положительному приращению

давления ΔР соответствует отрицательное приращение объема

ΔV. Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия β

представляет собой объемный модуль упругости К.

Капельные жидкости ничтожно мало изменяют свой объем

при изменении давления, в отличие от газов. Например, при по-

вышении давления воды до 40 МПа ее объем уменьшается лишь

на 2 %, поэтому в большинстве случаев капельные жидкости счи-

тают несжимаемыми.

Вязкость – представляет собой свойство жидкости (газа)

сопротивляться сдвигу или скольжению ее слоев. Представим се-

бе слой жидкости, находящийся между двумя параллельными

пластинами, как показано на рис. 2.

Приложим касательную силу Т для того, чтобы перемещать

верхнюю пластину с постоянной скоростью W. Опыт показывает,

что жидкость прилипает к обеим пластинам, а, следовательно,

около нижней пластины скорость жидкости стремится к нулю

и на стенке w

ст

= 0, а у верхней пластины скорость жидкости рав-

на скорости движения пластины w

ст

= W.

Очевидно, в жидкости возникнут и будут существовать ка-

сательные напряжения между отдельными ее слоями.

Весь слой жидкости, расположенный между пластинами,

можно представить состоящим из бесконечно большого числа

элементарных слоев толщиной dn каждый. Экспериментальными

исследованиями установлено, что касательная сила Т, которую

надо приложить для сдвига, тем больше, чем больше градиент

скорости

d d

w n

, характеризующий изменение скорости, прихо-

Рис. 2. К пояснению эффекта вязкости жидкости

дящейся на единицу расстояния по нормали между слоями. Кро-

ме того, сила Т пропорциональна площади соприкосновения F

слоев. Следовательно,

T F

  , (1.6)

где μ – коэффициент пропорциональности, называется динами-

ческим коэффициентом вязкости. В системе СИ измеряется

в Па∙с. Кинематический коэффициент вязкости определяется

как ν = μ/ρ и измеряется в системе СИ в м

/с.

Соотношения между единицами измерения динамического

и кинематического коэффициентов вязкости приведены в прило-

жении.

Возникающая внутри жидкости сила сопротивления равна

приложенной силе Т и направлена в противоположную сторону.

Отношение этой силы к поверхности соприкосновения слов обо-

значается τ и называется напряжением внутреннего трения

или напряжением сдвига

   или

  – . (1.7)

В форме этого уравнения обычно выражают закон внутреннего

трения Ньютона, согласно которому напряжение внутренне-

го трения, возникающее между слоями жидкости при ее те-

чении, прямо пропорционально градиенту скорости. Знак ми-

нус показывает, что τ тормозит течение. Следовательно, жидко-

сти называют ньютоновскими, если касательное напряжение

прямо пропорционально градиенту скорости. Жидкости с пере-

менным коэффициентом пропорциональности между касатель-

ным напряжением и градиентом скорости называют неньюто-

новскими. Эти жидкости изучает наука реология.

Поверхностное натяжение характеризуется как сила, дей-

ствующая на единицу длины поверхности раздела жидкости и

соприкасающейся с ней газа. Молекулы жидкости внутри ее объ-

ема испытывают примерно одинаковое взаимодействие соседних

молекул, в то время как молекулы, находящиеся на границе раз-

дела фаз, притягиваются молекулами внутренних слоев сильнее,

чем молекулами газа. В результате на поверхности жидкости

возникает давление, направленное внутрь жидкости по нормали к

ее поверхности, которое стремится уменьшить эту поверхность

до минимума. Следовательно, для увеличения поверхности, т.е.

для создания новой поверхности, необходима некоторая затрата

энергии. Работа, требуемая для образования новой поверхности,

называется межфазным или поверхностным натяжением. По-

верхностное натяжение обозначается σ и в системе СИ измеряет-

ся в Н/м.

ГИДРОСТАТИКА

Глава 2. Гидростатическое давление и уравнения

равновесия

2.1. Свойства гидростатического давления

В жидкости, находящейся в состоянии покоя, возможен

лишь один вид напряжений – напряжения сжатия, т.е. гидро-

статическое давление.

Гидростатическое давление в жидкости имеет свойства:

1. На внешней поверхности жидкости гидростатическое дав-

ление всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого

объема жидкости. Под внешней поверхностью жидкости пони-

мают не только поверхности раздела жидкости с газообразной

средой или твердыми стенками, но и поверхности элементарных

объемов, мысленно выделяемых из общего объема жидкости.

2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давле-

ние одинаково по всем направлениям, т.е. давление не зависит от

угла наклона площадки, на которую оно действует.

В системе СИ давление измеряется в Н/м

(Па), в физиче-

ской системе – дин/см

(мкбар), а в технической системе – кгс/м

При решении многих задач употребляют практическую еди-

ницу измерения давления – техническую атмосферу, которая

равна давлению 1 кгс/см

или 735 мм рт. ст. Применяется так на-

зываемая стандартная атмосфера, равная 760,1 мм рт. ст.,

а также физическая атмосфера, равная 1 бар.

Соотношения между единицами измерения давления приве-

дены в приложении.

2.2. Закон Паскаля

Рассмотрим основной случай равновесия жидкости в со-

стоянии покоя. В этом случае на нее действует лишь одна сила –

сила тяжести (массовая сила).

Получим уравнение, позволяющее находить величину гид-

ростатического давления в любой точке данного объема жидко-

сти. На рис. 3 показан сосуд с покоящейся жидкостью. На ее сво-

бодную поверхность действует внешнее давление p

. Определим

величину гидростатического давления в произвольной точке.

Выделим горизонтальную площадку ΔS около этой точки и по-

строим вертикальный цилиндрический объем высотой Н. Рас-

смотрим условие равновесия этого объема жидкости.

Давление жидкости на ниж-

нее основание выделенного ци-

линдра теперь будет внешним

и направлено по нормали внутрь

объема, т.е. вверх. Запишем сум-

му всех сил, действующих на этот

объем в вертикальном направле-

нии:

p S p S gH S

      

, (2.1)

где последний член – это сила тяжести указанного объема жид-

кости. Силы давления на боковые поверхности цилиндра в

уравнение не войдут, т.к. они направлены по нормали к этой

поверхности.

Сократив на ΔS и перегруппировав члены уравнения, полу-

чим:

p p gH

  

. (2.2)

Следовательно, гидростатическое давление в выделенной

точке складывается из внешнего давления р

(общего для всех

Рис. 3. Схема сил, действующих

на площадку



ΔS

точек жидкости) и давления, обусловленного весом столба жид-

кости. Так как давление р

одинаково для всех точек объема

жидкости, и учитывая второе свойство гидростатического давле-

ния, можно сделать вывод, что давление, приложенное к внеш-

ней поверхности жидкости, передается ко всем точкам

жидкости одинаково.

В этом выражается закон Паскаля.

Согласно уравнению (2.2), давление на боковые стенки лю-

бого сосуда возрастает с увеличением глубины погружения H.

Соответственно, сила давления на стенку также различна по вы-

соте сосуда. Поэтому

( )

P p gh F

  

, где h – расстояние от

верхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной площа-

ди F стенки.

2.3. Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

Выясним соотношения между силами, действующими на

жидкость, находящуюся в состоянии покоя. Для этого выделим

в жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда со

сторонами dx, dy, dz, ориен-

тированными относительно

осей координат (рис. 4). Оп-

ределим условия равновесия

этого объема в поле действия

сил давления и силы тяжести

[1].

Сила тяжести, дейст-

вующая на параллелепипед,

выражается произведением

его массы dm на ускорение

свободного падения g. Сила

гидростатического давления P на любую из граней параллелепи-

педа равна произведению гидростатического давления p на пло-

щадь этой грани.

Рис. 4. К выводу дифференциальных

уравнений равновесия

p z







p x







p y







Будем считать, что давление p является функцией всех трех

координат:

)

(



. Определим закон распределения гидро-

статического давления по объему жидкости.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на

оси координат всех сил, действующих на элементарный объ-

ем, находящийся в равновесии, равна нулю. В противном слу-

чае происходило бы перемещение жидкости.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Сила тяжести на-

правлена вниз, параллельно оси z. Поэтому при выбранном на-

правлении оси z (см. рис. 4) сила тяжести будет проектироваться

на эту ось со знаком минус:

d d d d d

g m g V g x y z

     

. (2.3)

Сила гидростатического давления действует на нижнюю

грань параллелепипеда по нормали к ней. Ее проекция на ось z

равна

d d

p x y

. Если изменение гидростатического давления в дан-

ной точке в направлении оси z равно



, то по всей длине ребра

dz оно составит



. Тогда гидростатическое давление на про-

тивоположную (верхнюю) грань равно

p z



 



 



 

и проекция

силы гидростатического давления на ось z:

d d d

p z x y



 

 

 



 

. (2.4)

Проекция равнодействующей силы давления на ось z:

d d d d d d d d

p p

p x y p z x y z x y

z z

 

 

   

 

 

 

. (2.5)

Сумма проекций сил на ось z равна нулю, т.е.

d d d d d d 0

g x y z x y z



  



, (2.6)

или, учитывая, что объем параллелепипеда

d d d d 0

x y z V

 

(ве-

личина заведомо не равная нулю), получим:



  



. (2.7)

Проекции сил тяжести на оси x и y равны нулю. Поэтому

сумма проекций сил на ось x:

d d d d d 0

p y z p x y z



 

  

 



 

, (2.8)

откуда после раскрытия скобок и сокращения находим

d d d 0

x y z



 



или 0





. (2.9)

Соответственно, для оси y:

d d d 0

x y z



 



или 0





. (2.10)

Таким образом, условия равновесия элементарного парал-

лелепипеда выражаются системой уравнений:





 











 









  







(2.11)

Уравнения (2.11) представляют собой дифференциальные

уравнения равновесия Эйлера.

2.4. Основное уравнение гидростатики

Решение дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

дает основное уравнение гидростатики, широко используемое

в инженерной практике [2].

Из уравнений (2.11) следует, что давление в покоящейся

жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z,

см. рис. 4), оставаясь одинаковым во всех точках любой горизон-

тальной плоскости, т.к. изменения давлений вдоль осей x и y рав-

ны нулю. В связи с тем, что в этой системе уравнений частные

производные



равны нулю, частная производная



мо-

жет быть заменена на

и, следовательно,

  

, отсюда

d d 0

p g z

   

. (2.12)

Разделив левую и правую части последнего выражения на

ρg и переменив знаки, представим это уравнение в виде

d d 0

z p

 



Для несжимаемой, однородной жидкости плотность посто-

янна и, следовательно,

d d 0

 

 

 



 

, или

d 0

 

 

 



 

откуда, после интегрирования, получим

const

 



. (2.13)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2

уравнение (2.13) выражают в форме

1 2

p p

z z

g g

  

 

. (2.14)

Уравнение (2.13) является основным уравнением гидро-

статики.

Член z в уравнении (2.13) представляет собой высоту распо-

ложения данной точки над произвольно выбранной плоскостью

сравнения и называется нивелирной высотой или геометриче-

ским напором.

Величину



называют напором давления, или пьезомет-

рическим напором (высотой).

Оба члена уравнения (2.13) выражаются в единицах длины,

м (в системе СИ):

Н м

м Н

p p

 

  

  

 

  

 

Следовательно, согласно основному уравнению гидростати-

ки, для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелир-

ной высоты и пьезометрического напора есть величина по-

стоянная.

Члены основного уравнения гидростатики имеют опреде-

ленный энергетический смысл. Выражение члена



до сокра-

щения

Н м Дж

Н Н



   



   

   

характеризует удельную энергию, т.е.

энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости. Аналогич-

ный энергетический смысл получает и нивелирная высота, если

ее выражение





умножить и затем разделить на единицу веса

жидкости.

Таким образом, нивелирная высота z характеризует удель-

ную потенциальную энергию положения данной точки над вы-

бранной плоскостью сравнения, а пьезометрический напор –

удельную потенциальную энергию давления в этой точке. Сум-

ма указанных энергий, называемая полным гидростатическим

напором, или просто статическим напором, равна общей по-

тенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Следовательно, основное уравнение гидростатики представ-

ляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная

потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидко-

сти есть величина постоянная.

Глава 3. Применение законов гидростатики

3.1. Сообщающиеся сосуды

Основное уравнение гидростатики имеет ряд важных прак-

тических приложений [2]. Рассмотрим, например, два открытых

сообщающихся сосуда, заполненных жидкостью плотностью ρ,

как показано на рис. 5.