Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

А.А. Афанасьев, А.В. Евграфов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Раздел третий

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

ЧЕБОКСАРЫ 2003

xx

xx

y 





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»

А.А. Афанасьев, А.В. Евграфов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Раздел третий

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

ЧЕБОКСАРЫ 2003

4 5

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКИ И УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

Нелинейные системы содержат один или несколько нелиней-

ных звеньев. Можно показать [3], что любая автоматическая сис-

тема, имеющая одно нелинейное звено, приводится к простейшей

блок-схеме, состоящей из последовательно включенных нелиней-

ного звена и линейной части, содержащей в себе все линейные

звенья исходной системы (рис 10.1).

Рис.10.1. Блок-схема автоматической системы с одним нелинейным

звеном

10.1. ТИПОВЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ И ИХ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Нелинейные элементы могут подразделяться на две группы:

1 – естественные, неизбежно присутствующие в автомати-

ческих системах;

2 – искусственные, преднамеренно вводимые в систему для

придания ей нужных свойств.

К первой группе относятся нелинейные элементы, обладаю-

щие насыщением (рис. 10.2), зоной нечувствительности (рис. 10.3),

с гистерезисом (рис. 10.4, 10.5).

Характеристики нелинейных элементов на рис 10.2, 10.3

однозначны. Характеристики на рис. 10.4, 10.5 неоднозначны.

g(t)

G(p)

x(t)

X(p)

Ф(х)

y(t)

Y(p)

W(p)

z(t)

Z(p)

нелинейное

звено

линейная

часть

УДК 517 (075)

Рецензенты: кафедра электропривода и АПУ Ульяновского госу-

дарственного технического университета(зав. кафед-

рой д-р техн. наук, проф. М.А. Боровиков), д-р техн.

наук, проф. Ю.П. Сонин

Афанасьев А.А, Евграфов А.В.

Математические основы теории систем управления.

Раздел третий: Элементы теории нелинейных систем авто-

матического управления: Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-

во Чуваш. ун-та, 2003. 90с.

ISBN

Приводятся характеристики и уравнения нелинейных систем.

Анализируются автономные и вынужденные периодические про-

цессы, особенности управления при наличии внешнего периоди-

ческого воздействия. Рассматриваются точные методы анализа

переходных процессов и автоколебаний в системах с кусочно-ли-

нейными характеристиками.

Для студентов, обучающихся по направлению "Автоматиза-

ция и управление", а также по направлениям "Электротехника, элек-

тромеханика и электротехнологии", "Электроэнергетика" и ряду

других в области технических наук.

Раздел 1 (Уравнения состояния систем автоматического уп-

равления), раздел 2 (Устойчивость уравнений состояния) вышли

соответственно в 1998 г. и 2000 г. в изд-ве Чуваш. ун-та.

Ответственный редактор: д-р техн. наук, проф. Т.А. Белов

Утверждено Редакционно-издательским советом университета.

ISBN

УДК 517 (075)

Афанасьев А.А. 2003

Евграфов А.В.

6 7

Ко второй группе нелинейностей относятся звенья с релей-

ными характеристиками (рис.10.6-10.8) а также звенья со специ-

альными характеристиками (рис 10.9).

Двухпозиционное идеальное реле обладает характеристикой,

показанной на рис.10.6,а. Характеристика на рис.10.6,б соответ-

ствует реле с зоной нечувствительности – трехпозиционным реле.

При ax  контакты реле разомкнуты.

Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности, у кото-

рого величина срабатывания (



) больше величины отрицания

(



), имеет характеристику рис 10.7.Она имеет петли, называ-

емые петлями гистерезиса.

На рис 10.8. показана характеристика двухпозиционного реле

с зоной нечувствительности ax  . Реле не имеет отключенногоо

y=Ф(х)

х0

y=Ф(х)

х0 а

-а

а) б)

Рис.10.6. Характеристики двух-(а) и трехпозиционных(б) реле

Рис.10.7. Релейная нелинейность

с нечувствительностью и

гистерезисом

y=Ф(х)

х0 а

-а

-b

Рис.10.8. Релейная нелинейность

с гистерезисом

y=Ф(х)

х0 а

-а

Рис.10.2. Однозначная

нелинейность типа насыщение

(ограничение)

y=Ф(х)

х0

Рис.10.3. Однозначная

нелинейность с насыщением и

зоной нечувствительности

y=Ф(х)

х0

y=Ф(х)

х0

Рис.10.4. Неоднозначная нелинейность с насыщением и гистерезисом

(зазором)

y=Ф(х)

Рис.10.5. Неоднозначная нелинейность типа гистерезис и с зоной

нечувствительности

8 9

Этот коэффициент, очевидно, равняется тангенсу угла между

прямой, проходящей через начало координат и точку на нелиней-

ной характеристике, и осью абсцисс (рис.10.10).

 tg)(xK

 (10.5)

Уравнение статически линеаризованного элемента

xxKy

)(Ф

)(



представляет лишь другую форму записи нелинейной зависимос-

ти (10.1).

Если же принять

const)( xK

, то уравнение (10.3) будет

линейной аппроксимацией исходной нелинейности (10.1).

10.2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Дифференциальная линеаризация задается уравнением.

xxKy 



)(

, (10.6)

где

)(Ф

)( 



– (10.7)

– коэффициент дифференциальной линеаризации.

)(xK



равен тангенсу угла



, образованному касательной к

кривой )(Ф xy



с осью абсцисс (рис 10.11).

Уравнение (10.6) можно рассматривать как линейную аппрокси-

мацию исходной нелинейности (10.1) при малых изменениях вход-

ной величины х в окрестности ее некоторого значения.

y=Ф(х)

хх



Рис.10.10. Статическая линеаризация нелинейной характеристики

Риc.10.9. Нелинейности с параболическими характеристиками

y=Ф(х)

х0

y=Ф(х)

х0

-а

состояния, и контакты всегда замкнуты в ту или другую сторону.

Для его переключения нужно иметь сигнал ax  .

На рис 10.9 показаны нелинейности параболического типа с

отсутствием и наличием зоны нечувствительности.

10.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Линеаризация нелинейности позволяет нелинейную характе-

ристику

)(Ф xy



(10.1)

заменить условно линейной

xzKy





)(

, (10.2)

где аргумент (z) коэффициента линеаризации (К) зависит от вида

линеаризации. Обычно применяют четыре вида линеаризации не-

линейностей: статическую, дифференциальную, гармоническую,

стохастическую.

10.2.1. СТАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

xxKy

 )(

, (10.3)

где

)(xK

– коэффициент статической линеаризации находится

по формуле

)(Ф

)( 

. (10.4)

10 11

денные из разложения в ряд (10.11), обеспечивают наилучшее квад-

ратичное приближение гармонического сигнала )(

tу к периоди-

ческой кривой (10.9)

 

min)(

)(







tdtyty

(10.12)

Выражение (10.10) можно представить и в другой форме

))(sin()(

AtKAty 

, (10.13)

где

2Г2ГГГ

)]([)]([)( АKАКАКК



, (10.14)

)(

arctg)(

АК



. (10.15)

Если перейти к комплексному виду записи уравнений (10.8),

(10.10), (10.13), то будем иметь:

eAtx



)(



, (10.16)

)()()(

txAKty





, (10.17)

где

)()()(

ГГ

)(ГГ

AjKAKeAKK







- (10.18)

-комплексный коэффициент гармонической линеаризации.

Этот коэффициент, равный отношению

)(





называют также гармоническим коэффициентом передачи (амп-

литудно-фазовой характеристикой) нелинейного звена, но, в от-

личие от последнего коэффициента

)(



не зависит от частоты

входного сигнала.

Модуль (



) и фаза (



) этого коэффициента являются фун-

кцией только амплитуды (А) входного сигнала.

Уравнение гармонической линеаризации (10.17) является

аппроксимацией уравнения нелинейного эвена (10.9) при гармо-

ническом воздействии.

10.2.3. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Пусть входной сигнал нелинейного звена изменяется по гар-

моническому закону

tAtx







sin)( . (10.8)

Выходной сигнал





tAty







sinФ)(

(10.9)

будет периодической функцией времени, которую можно разло-

жить в ряд Фурье. Первая гармоника этого ряда запишется в та-

ком виде





tКtКAty

 cossin)(

ГГ

(10.10)

где

- коэффициенты гармонической линеаризации опре-

деляются по формулам



























. cos)cos(Ф

)(

, sin)sin(Ф

)(

ГГ

tdttA

AКК

tdttA

AКК

(10.11)

Выражения (10.11) показывают, что коэффициенты гармони-

ческой линеаризации зависят от амплитуды входного сигнала. Как

известно [3], коэффициенты линеаризации в формуле (10.10), най-

y=Ф(х)

х х0



Рис.10.11. Дифференциальная линеаризация нелинейной

характеристики

12 13

y=Ф(х)

y(t)

x(t)

а b



t

 











Рис.10.12. К расчету коэффициентов гармонической линеаризации

нелинейности с насыщением и зоной нечувствительности

а b0

Рис.10.13. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации

нелинейного звена от амплитуды входного сигнала

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕДАЧИ

НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Характеристики нелинейных элементов, как отмечалось выше,

бывают двух типов – однозначные и неоднозначные.

Нелинейные элементы с однозначными характеристиками

Для этих элементов фазовый сдвиг активных гармоник коле-

баний на входе и выходе отсутствует ( 0)(





A ). Поэтому гармо-

нический коэффициент передачи является величиной веществен-

ной:















.0)(sin)()(

),()()(cos)()(

ГГ

ГГГГ

AAКAК

AКAКAAКAК



(10.19)

ПРИМЕР 10.1

Найдем )(

AК

для нелинейности с зоной нечувстви-

тельности, линейным участком и насыщением (рис.10.12). В зави-

симости от величины амплитуды входного сигнала будем иметь

два аналитических выражения для коэффициента гармонической

линеаризации.

1) bAa



В этом случае согласно первой из формул (10.11) имеем

.1arcsin

sin)sin(











































tatAk

(10.20)



,11arcsinarcsin













































(10.21)

где





tgk .

График зависимостей (10.20), (10.21) представлен на рис. 10.13.

14 15

y=Ф(х)



0 x

б)а)

-a

Рис.10.15. Гармоническая линеаризация нелинейного звена с зоной

нечувствительности

y=Ф(х)

а)

б)

-c

Рис.10.17.Гармоническая линеаризация идеальной релейной

характеристики

y=Ф(х)

a0 x

а) б)



-a

Рис.10.16. Гармоническая линеаризация релейной характеристики с

зоной нечувствительности

-c

ПРИМЕР 10.2

Имеем нелинейность типа «насыщение» без зоны нечувстви-

тельности (рис.10.14.). Этот случай является частным для пре-

дыдущего (



При



имеем:

.1arcsin































(10.22)

При



имеем:

 tgKК

ПРИМЕР 10.3

Имеем нелинейное звено с зоной нечувствительности

(рис.10.15). Для



справедливо:

.1arcsin































kК

(10.23)

ПРИМЕР 10.4

Релейная характеристика с зоной нечувствительности

(рис.10.16) у которой сигнал срабатывания равен сигналу отпус-

кания (петля отсутствует).



















(10.24)



y=Ф(х)

а)

б)

Рис.10.14. Гармоническая линеаризация нелинейности

типа «ограничение»

16 17

Релейные характеристики

Обратимся к релейной характеристике общего вида

(рис.10.18), у которой сигнал срабатывания больше сигнала от-

пускания (

,mbab





- любое дробное число из интервала





m ). При 1



m имеем



- петля отсутствует (рис.10.16).

При 11







m реле является трёхпозиционным, при 1





(рис.10.18,в) – двухпозиционным.

Если входное колебание tAx





sin имеет амплитуду bA



то выходной сигнал равен нулю.

При bA



переключения реле происходят в точках 1-2-3-4

(рис.10.19, а), в которых имеем

arcsin



;

arcsin



. (10.26)

y(t)

-a



-c

x(t)

-b















а)

б)

Рис.10.19. Прохождение сигнала через релейное нелинейное звено

ПРИМЕР 10.5

Идеальная релейная характеристика (а=0) (рис.10.17).





(10.25)

Нелинейные элементы с неоднозначными

характеристиками

Если характеристика нелинейного звена неоднозначна из-за

наличия петли , то выходные колебания сдвинутся по фазе и появ-

ляется мнимая составляющая гармонического коэффициента пе-

редачи (

), пропорциональная площади петли. При отставании

выходного колебания по фазе коэффициент

имеет отрицатель-

ный знак.

y=Ф(х)

а)

0 x

-c

a=mb b

-b -a

0 < m < 1

б)

y=Ф(х)

0 x

a=mb

-b

-1 < m < 0

y=Ф(х)

0 xba=mb=-

m =-1

в)

Рис.10.18. Типы релейных характеристик

18 19

Сравнивая формулы (10.24) и (10.29) видим, что релейные

характеристики (рис.10.16,а) и (рис.10.18,в) имеют одинаковые

коэффициенты

По формулам (10.29) на рис.10.20 построены зависимости

)(

АК

)(

АК

. Обратим внимание, что при 2A в имеем

)()(

ГГ

АКАК

СS



Характеристика типа «Люфт»

Нелинейность вида рис.10.21 может проявится при передаче

перемещения с помощью двух зубчатых колёс ( х- перемещение

ведущего колеса, у- ведомого).

Видим из рис.10.21, что при

изменении х от х=А до х=А-2b,

при котором ωt=ψ, величина у ос-

таётся неизменной, равной с.

Аналогичная ситуация имеет ме-

сто и при изменении х от -А до

х=-А+2b. На этом интервале

имеем у=-с. График зависимос-

ти у=у(t) показан на рис.10.22.

Видим, что гармоника )(

ty от-

стаёт от гармоники х(t).

Используя формулы (10.11),

получим:

y=Ф(х)

-c

-b-A



Рис.10.21.Характеристика

нелинейного звена типа «люфт»



x(t)

y(t)





-c

-kb



x,y



Рис.10.22.Формирование выходного сигнала нелинейного

звена типа «люфт»

По этим точкам легко построить кривую выходного сигнала

звена y=y(t) (рис.10.19,б). Легко увидеть что первая гармоника

y(t) будет отставать по фазе от кривой x(t). Применяя далее фор-

мулы (10.11) получим



















































sin

ttdс

, (10.27)

)1(

cos

сb

ttdс













. (10.28)

Из последней формулы видно, в частонсти, что при 1



(имеем однозначную характеристику вида рис.10.16,а) и при 0



(имеем идеальную характеристику вида рис.10.17,а) коэффициент

линеаризации

равен нулю.

Для релейной характеристики типа (рис.10.18,в) из формул

(10.27), (10.28) получим, полагая в них





m :

сb

























(10.29)



0 b









Рис.10.20.Зависимость коэффициентов

гармонической линеаризации

релейных характеристик от

амплитуды входного сигнала