Абдулин С.Ф. Системы автоматики предприятий стройиндустрии

Подождите немного. Документ загружается.

()

[ ]

¶-=

),(U)(U

tQttQF

. (4.5)

Для решения обратных задач будем использовать метод движения по

градиенту:

)(

, (4.6)

где набор координат Θ – совокупность параметров (теплофизических

характеристик, см. ниже); τ – некоторый параметр, играющий роль

времени. Для практического использования (4.6) необходимо численно

определять все производные (как частные, так и полные), поскольку (4.6)

фактически задает нам итерационную процедуру поиска минимума.

Система по принятой в теории колебаний классификации является

автономной диссипативной динамической системой, заданной потоком.

Если решение (4.4) существует, то система (4.6) обязана обладать

неподвижной «притягивающей» особой точкой. Таким образом, можно

разложить правую часть (4.6) до первого по отклонению члена вблизи

неподвижной точки:

).(

)(

¶¶

(4.7)

Выделим из всего множества переменных Θ те, явная зависимость от

которых известна, и обозначим их через φ, прочие переменные – через Ψ.

Таким образом, Ф(Θ) перейдет в Ф(φ, Ψ). Частные производные Ф(φ, Ψ) по

переменным Ф нетрудно посчитать аналитически, потребовав (в силу

поиска экстремума) их обнуления. Для динамической системы (4.6) это

соответствует выражению

),(

. (4.8)

Тем самым эффективно понижена размерность исходной системы на

то количество переменных, аналитическая зависимость от которых нам

теперь известна. На языке вариационного исчисления это означает, что при

переходе от (4.6) к (4.8) на исходную систему наложен ряд связей, которые

формально обеспечили бесконечно быстрое движение по направлениям,

задаваемым бесконечно малыми приращениями параметров, зависимость

от которых известна (аналогично известному классу задач теоретической

механики о свободном движении, стесненном голономными связями).

Как известно, постановка прямой задачи теплопроводности ос-

новывается на законе сохранения энергии, записанном в виде уравнения

непрерывности

0=+

)t,r(divJ

)t,r(Q

, (4.9)

где Q(r,t) и J(r,t) – соответственно объемная плотность тепловой энергии и

плотность теплового потока,

)

(

)

(

)

(

)

(

;

)t,r(T

)r()t,r(J

, (4.10)

здесь T(r,t) – температура; ρ(r) – плотность среды; С ρ (r) – ее удельная

теплоемкость; λ(r) – теплопроводность. Три последние величины и

относятся к теплофизическим (локальным) характеристикам, на практике

же в основном определяют теплопроводность. Часто эти характеристики

являются кусочно-постоянными функциями координат.

Таким образом, решая прямое уравнение теплопроводности (4.9),

подставляя решение в (4.5) и подбирая параметры в соответствии с вы-

шеизложенным, определяются параметры, реализующие экстремум (4.4).

Для упрощения математического описания без сокращения общности

результатов примем, что дефект описывается одним параметром X. Для

этого случая показано, что задача тепловой дефектометрии приводится к

виду

[

]

.d)(T),,(T)t,,(T

tttalalF

][ -

(4.11)

При возможности аналитического решения задачи определения

)t,,(T

(прямой задачи теплопроводности) функционал (4.11)

превращается в функцию относительно теплофизических параметров (4.5).

Искомые характеристики определяются нахождением глобального

минимума.

Проведя несложные математические преобразования, можно записать

( )

4.12

][][

][

.d)(T)(Td)(T)(T),(J

d),(J),()t(

=º

tttttttl

ttl

laFF

Экстремум (4.12) по искомой переменной (фактически этот экстремум

условный) определяется путем приравнивая частной производной по

соответствующему аргументу нулю с учетом (4.8). Например, по

переменной α0:

[ ]

d)(T)(T),(J

d),(J

)(

ttttl

ttl

(4.13)

Таким образом, задача свелась к нахождению минимума функ-

ции Ф(λ, α0(λ)). Минимум этой функции (уже безусловный) определяется

простым перебором: решая прямую задачу теплопроводности для доста-

точно большого набора λ, выделяют глобальный минимум. Описанный

выше алгоритм позволяет определять численные значения областей внут-

ренних нарушений сплошности на основе решения обратной задачи ТНК.

Оценка достоверности результатов теплового неразрушающего

контроля. Принципиально важной задачей при серийном обследовании

большого количества различных по конструкции объектов в реальных ус-

ловиях их эксплуатации является оперативная оценка достоверности кон-

троля.

Обычно для решения этой проблемы применяются лабораторные ис-

следования с использованием специальных камер. Например, фрагмент ис-

следуемого образца устанавливается на границе холодного и теплого отсе-

ков термокамеры и создаются необходимые заранее определенные темпе-

ратурные режимы. Далее оценивается достоверность результатов. При

всех очевидных преимуществах этот подход обладает существенными не-

достатками, не позволяющими широко использовать его на практике.

Рассмотрим решение данной задачи путем аналитического (в частнос-

ти статистического) рассмотрения погрешностей при экспериментальных

данных.

Исследования проводились на примере одного из параметров, описы-

вающих интегральную (по толщине) характеристику теплозащиты объекта

контроля – сопротивление теплопередаче. Не нарушая общность исследо-

ваний, это позволило значительно повысить наглядность получаемых

результатов при существенном упрощении математического аппарата.

Сопротивление теплопередаче k-го типа образца в любой точке

поверхности рассчитывается в соответствии с разработанным выше

методом тепловой дефектометрии. Интегральная характеристика всей

конструкции, например приведенное сопротивление теплопередаче в

целом зависит лишь от удельного веса разных участков и формулу для его

определения можно представить в виде

wRR

w , (4.14)

где суммирование идет по типам материалов; w – удельные веса; n – общее

число типов материалов.

Последнее выражение (4.14) – условие нормировки.

Однако на практике наблюдаются отклонения (при использовании

заявленных значений параметров). Более того, как показывает опыт,

сопротивление теплопередаче R

становится функцией положения на

образце. Это происходит вследствие изменений в технологии

производства, разных режимов эксплуатации и т.п. В то же время на

процесс измерения оказывают воздействие множество факторов,

регулярный учет которых практически невозможен (например, порывы

ветра, изменение влажности и т.п.). Таким образом, причины отличия

проектного значения приведенного сопротивления от реального (где по

причинам, указанным выше, необходимо ввести соответствующие

поправки) и возникновения погрешностей при измерении носят слабо

контролируемый и труднообозримый характер.

В силу этого введем предположение, что обе процедуры – измерения

сопротивлений и заявления их проектных значений – имеют случайные

характеристики.

Таким образом, оправданным является вероятностная интерпретация

обеих указанных процедур. Рассмотрим следующую вероятностную

модель. Пусть случайная величина ζ – измеренное значение сопротивления

теплопередаче (4.14), η – та же величина, заявленная проектной

организацией. Отметим, что эти величины можно считать состоящими из

двух компонент: R

– истинное значение сопротивления и

флуктуационные компоненты (т.е. собственно те добавки, которые

обеспечивают случайность). Выделение флуктуационных компонент

(считающихся независимыми от истинного сопротивления R

) вызвано

необходимостью учета статистики ошибок вне зависимости от

особенностей конкретного объекта.

Таким образом, примем, что статистика ошибок не зависит от объекта,

т.е. их наличие является свойством именно методик измерения и

проектирования. Будем считать, что функция распределения (плотность

вероятности) результатов измерения равна Р(ζ), плотность же вероятности

для значения приведенного сопротивления, заявляемого проектной

организацией, обозначим через Q(η). Плотность вероятности получения

при измерении результата ζ и одновременно для проектной организации

заявления приведенного сопротивления η выражается через плотность

совместной вероятности W(ζ, η) (т.н. теорема умножения вероятностей):

(

)

(

)

(

(4.15)

где введена плотность условной вероятности W(ζ,| η) – плотность

вероятности получить в результате измерения ζ, при условии, что

заявленное приведенное сопротивление η. Легко видеть, что связь между

Р(ζ) и W(ζ, η) [а в силу (4.15) и Q(η)] следующая:

,d)(Q)|(Wd),(W)(P

òò

hhhxhhxx

(4.16)

здесь интегрирование ведется по допустимым значениям соответствующих

аргументов. Случайные величины η и ζ, не независимы, это будет показано

ниже. Функции распределения (4.15) и (4.16) нормированы на единицу.

Построим гистограмму отстроек измеренных сопротивлений от

заявленных, т.е. η – ζ , тем самым исключается трудность в отношении

различий истинных сопротивлений R

для разных объектов, они

сократятся при вычитании (рис. 4.26).

Далее отметим, что гистограмма на рис. 4.26 приближает вид плотно-

сти условной вероятности W(η|ζ). Предполагая, что флуктуации не за висят

от истинного значения R

, объявляется, что не существует выделенных

значений сопротивлений, и условная вероятность может зависеть лишь от

разности (η – ζ). С другой стороны, это требование (независимости харак-

тера флуктуации от объекта) фактически означает, что результат усред-

нения по ансамблю объектов не отличается от усреднения по многократно

проведенным измерениям на одном объекте. Тем самым по анализу дан-

ных о ряде объектов можно судить о методике измерения в целом. Далее,

сама процедура измерений обеспечивает получение именно W(η|ζ). Ведь

перед проведением теплового контроля имеется информация о сопротив-

лении, заявленном в проекте на контролируемый объект, т.е. о η.

Аппроксимируем гистограмму экспоненциальным распределением:

)()

(

)|(W

xhQ

-= exp

, (4.17)

где u – характерный масштаб спадания (декремент); Θ(х) – ступенчатая

функция Хевисайда (1 при х > 0 и 0 при прочих значениях аргумента).

Введем следующие предположения относительно функции распреде-

ления Θ(η). Пусть она будет аналогична по виду W(η|ζ). Таким образом,

Q(η ) запишется в виде

)R()

(

)(Q -

exp

(4.18)

где v - характерный масштаб спадания.

Пусть вероятность значения сопротивления, лежащего в сегменте

– Rδ, R

+ Rδ], равна ε, где δ – допустимое относительное отклонение.

Тогда, интегрируя (4.18) по указанному сегменту, можно в явном виде

получить v:

)(

1ln

(4.19)

Таким образом, вычисляя интеграл (4.16) с учетом (4.17) и (4.18), не-

трудно получить явный вид функции распределения для результатов изме-

рения Р(ζ):

Рис. 4.26. Гистограмм отстроек измеренных сопротивлений

теплопередаче (η – ζ) от заявленных

N(η – ζ)

(η – ζ)

.R,

)

(

;R,

)

(

)(P

exp

(4.20)

Далее получим средние значения и дисперсии плотностей вероятно-

стей (4.20) и (4.19). Для заявленных проектных значений сопротивлений

для среднего и значений дисперсии соответственно из (4.18) имеем

vR +=

;

v)( =

. (4.21)

Для значений сопротивлений, полученных в результате измерений,

среднее и дисперсия из (4.20) запишется в виде

uvR -+=

;

222

vu)( +=

. (4.22)

Выражения (4.21) и (4.22) позволяют нам оценить достоверность ме-

тодики ТНК конструкций с помощью подсчета относительной погрешно-

сти

. (4.23)

Таким образом, предложенный метод позволяет оперативно оценивать

достоверность результатов теплового неразрушающего контроля элемен-

тов строительных конструкций в реальных условиях их эксплуатации.

Созданный метод тепловой дефектометрии позволил значительно расши-

рить область применения теплового неразрушающего контроля конструк-

ций различных отраслей промышленности.

4.4. Перспективные мониторинги

4.4.1. Мониторинг технического состояния строительных

конструкций

Предлагается новый метод оценки технических показателей надежно-

сти строительных конструкций, основанный на обработке малого объема

экспериментальных данных на основе нормированной статистики.

Решение задач по обеспечению безопасности эксплуатируемых зданий

и сооружений возможно при широком внедрении мониторинга техни-

ческого состояния строительных конструкций с выявлением, анализом и

прогнозированием процессов изменений проектных параметров в резуль-

тате силового и несилового (температурного, влажностного и коррози-

онно-агрессивного) воздействия. Анализ результатов выполненных авто-

рами обследований технического состояния железобетонных конструкций,

эксплуатирующихся в условиях агрессивного воздействия несилового раз-

рушения конструкций, показал значительное снижение нормативного

срока эксплуатации. Причем обследования проводятся, как правило, когда

повреждения конструкций становятся значительными. Организация и про-

ведение обследований конструкций в условиях действующих производств

представляет большую сложность из-за плохой доступности конструкций,

небезопасности работ по обследованию и т. д. Поэтому в результате об-

следований удается получить недостаточный объем информации.

Выполнялись обследования технического состояния строительных

конструкций гальванического цеха (три обследования через 3,5 – 5 лет) –

фиксировали параметры коррозийного повреждения железобетонных кон-

струкций: глубину карбонизации бетона защитного слоя, глубину разру-

шения бетона защитного слоя, ширину раскрытия коррозийных трещин,

ориентированных вдоль стержней рабочей арматуры. Полученные данные

представлены в табл. 4.3.

В настоящее время выбор модели осуществляется по внешней форме,

соответствующей характеру статистических данных, с использованием ме-

тода выборочных распределений и метода гистограмм. Существуют ме-

тоды выбора модели, основанные на числовых характеристиках закона

распределения, таких как метод моментов, метод, основанный на исполь-

зовании контрэксцесса и энтропийного коэффициента.

Данные подходы не всегда могут описать структурные различия ме-

жду реальным объектом и моделью, ставящейся в соответствие данному

объекту. При этом аналитические выражения, полученные при использо-

вании данных подходов, достаточно сложны и громоздки.

В работе предлагается метод восстановления законов распределения,

основанный на свойствах распределений, приведенных к интервалу [0,1],

который сводится к приведению выборочных распределений к интервалу

[0,1], с последующим вычислением статистических индикаторов по фор-

мулам

Таблица 4.3

Для выбора класса моделирующей функции используется

автоматизированная система, внешний вид модели и рассчитанные

статистические индикаторы. Моделирующая функция подбирается по

наименьшему расхождению между теоретическими и выборочными

распределениями, то есть различию собственных индикаторов моделей и

исходных статистических индикаторов выборочных данных в

пространстве моментов. Результаты статистических исследований

железобетонных конструкций представлены в табл. 4.3.

Аналитические выражения закона распределения изучаемых выборок

экспериментальных данных, полученные с использованием метода

;n/xm

.n/)mx(I

E å

восстановления закона распределения на основе нормирования

статистических данных, позволили получить следующие закономерности

распределения измеряемых величин (рис. 4.27).

Исходные параметры технического состояния железобетонных

конструкций, использованные при построении моделей, представлены

временным рядом. На базе полученной модели можно осуществлять

мониторинг накапливаемых изменений состояния материала и прогноз

будущего поведения случайного процесса, рассчитывая значение показате-

ля для следующих моментов времени.

Общая

закономерность изменения параметра глубины коррозийного повреждения

говорит о линейном законе нарастания изменений (рис. 4.28), однако

детальное рассмотрение процесса, а именно построение моделей

распределения вероятности измеряемых данных, показывает, что даже при

трех измерениях можно заметить существенные различия в

моделирующих функциях, которые могут свидетельствовать об изменении

структурных свойств случайного процесса.

4.4.2. Методы обнаружения и мониторинга развития трещин

в строительных конструкциях

Рис. 4.27. Внешний вид моделирующих функций для трех наблюдений

глубины коррозийного повреждения бетона

Рис. 4.28. Линии тренда наблюдаемых параметров