Учебное пособие. - М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 152 с.
Изложены элементы математической статистики и метод Монте-Карло. Рассматриваются основные способы математического моделирования случайных величин, применение метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, простейшие примеры в физике и экономике. Описан специализированный метод Монте-Карло моделирования нормальных распределений на группе вращений SO(3). В приложении 1 приведен пример тестирования датчика равномерно распределенной случайной величины на (0,1) для персональных компьютеров, а в приложении 2 – примеры применения методов статистического моделирования нормальных распределений на SO(3) в текстурном анализе при создании математических методов обработки экспериментальных данных в виде ориентаций отдельных зерен поликристаллов, получаемых методами электронной микроскопии.
Предназначено студентам специальности «прикладная математика», изучающих теорию вероятностей и математическую статистику, а также сотрудникам, желающим освоить основы метода Монте-Карло. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Крянев
ISBN 978-5-7262-1546-4
Содержание
Предисловие
Элементы математической статистики
Некоторые сведения из теории вероятностей
Выборка. Выборочные оценки числовых характеристик случайных величин
Требования к оценкам: несмещенность, состоятельность, эффективность
Методы получения оценок: метод максимального правдоподобия, метод моментов
Интервальное оценивание. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Колмогорова. Критерий χ2
Задача Беренца–Фишера
Задания на самостоятельную работу
Смещенность, эффективность и состоятельность оценок. ММ и ММП получения оценок
Доверительные интервалы. Эмпирическая функция распределения. χ2 – критерий проверки гипотез о распределении
Статистическое моделирование случайных величин
Введение в численные методы Монте-Карло
Статистическое моделирование независимых равномерно распределенных случайных величин
Методы моделирования одномерных случайных величин
Моделирование многомерных случайных величин
Задание на самостоятельную работу
Моделирование случайных величин
Методы приближенного вычисления интегралов
Общая схема метода Монте-Карло для приближенного вычисления интегралов
Способы уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методами Монте-Карло
Численные примеры
Задание на самостоятельную работу
Вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло
Применение методов Монте-Карло в физике и экономике
Расчет системы массового обслуживания (общая схема)
Расчет прохождения нейтронов сквозь пластинку
Анализ риска при производстве принтеров фирмой
Моделирование времени ожидания
Трудоемкость метода Монте-Карло, использование неслучайных чисел
Специализированный метод Монте-Карло – статистическое моделирование ориентаций на группе вращений SO(3), подчиняющихся нормальному закону распределения
Определение нормального распределения на группе SO(3)
Алгоритм статистического моделирования нормальных распределений на SO(3)
Заключение
Список рекомендуемой литературы
Приложения
Изложены элементы математической статистики и метод Монте-Карло. Рассматриваются основные способы математического моделирования случайных величин, применение метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, простейшие примеры в физике и экономике. Описан специализированный метод Монте-Карло моделирования нормальных распределений на группе вращений SO(3). В приложении 1 приведен пример тестирования датчика равномерно распределенной случайной величины на (0,1) для персональных компьютеров, а в приложении 2 – примеры применения методов статистического моделирования нормальных распределений на SO(3) в текстурном анализе при создании математических методов обработки экспериментальных данных в виде ориентаций отдельных зерен поликристаллов, получаемых методами электронной микроскопии.
Предназначено студентам специальности «прикладная математика», изучающих теорию вероятностей и математическую статистику, а также сотрудникам, желающим освоить основы метода Монте-Карло. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Крянев
ISBN 978-5-7262-1546-4
Содержание
Предисловие
Элементы математической статистики
Некоторые сведения из теории вероятностей
Выборка. Выборочные оценки числовых характеристик случайных величин
Требования к оценкам: несмещенность, состоятельность, эффективность
Методы получения оценок: метод максимального правдоподобия, метод моментов
Интервальное оценивание. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Колмогорова. Критерий χ2
Задача Беренца–Фишера
Задания на самостоятельную работу
Смещенность, эффективность и состоятельность оценок. ММ и ММП получения оценок
Доверительные интервалы. Эмпирическая функция распределения. χ2 – критерий проверки гипотез о распределении
Статистическое моделирование случайных величин
Введение в численные методы Монте-Карло
Статистическое моделирование независимых равномерно распределенных случайных величин
Методы моделирования одномерных случайных величин
Моделирование многомерных случайных величин
Задание на самостоятельную работу
Моделирование случайных величин
Методы приближенного вычисления интегралов
Общая схема метода Монте-Карло для приближенного вычисления интегралов
Способы уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методами Монте-Карло
Численные примеры
Задание на самостоятельную работу
Вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло
Применение методов Монте-Карло в физике и экономике
Расчет системы массового обслуживания (общая схема)
Расчет прохождения нейтронов сквозь пластинку
Анализ риска при производстве принтеров фирмой
Моделирование времени ожидания
Трудоемкость метода Монте-Карло, использование неслучайных чисел
Специализированный метод Монте-Карло – статистическое моделирование ориентаций на группе вращений SO(3), подчиняющихся нормальному закону распределения
Определение нормального распределения на группе SO(3)
Алгоритм статистического моделирования нормальных распределений на SO(3)
Заключение
Список рекомендуемой литературы
Приложения