Уч. пособие. — 13-е изд. — М.: Наука, 1985. — 560 с. — Главная
редакция физико-математической литературы.
Хорошо известное учебное пособие по математике для ВТУЗов с
достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает
разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные
интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической
физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и
математической статистики, матрицы.
Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). Для студентов высших технических учебных заведений. Допущено Министерством высшего а среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для высших технических учебных заведений. См. также перевод этой книги на английский язык: /file/2744277/ Содержание:
Предисловие к девятому изданию
Предисловие к пятому изданию Дифференциальные уравнения
Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
Определения
Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
Однородные уравнения первого порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
Огибающая семейства кривых
Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
Уравнение Клеро
Уравнение Лагранжа
Ортогональные и изогональные траектории
Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)
Уравнение вида
Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения второго порядка
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение механических колебаний
Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
Вынужденные колебания
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса
Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе 13 Кратные интегралы
Двойной интеграл
Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла (продолжение)
Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
Двойной интеграл в полярных координатах
Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
Вычисление площади поверхности
Плотность распределения вещества и двойной интеграл
Момент инерции площади плоской фигуры
Координаты центра масс площади плоской фигуры
Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла
Замена переменных в тройном интеграле
Момент инерции и координаты центра масс тела
Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе 14 Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
Криволинейный интеграл
Вычисление криволинейного интеграла
Формула Грина
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Поверхностный интеграл
Вычисление поверхностного интеграла
Формула Стокса
Формула Остроградского
Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе 15 Ряды
Ряд. Сумма ряда
Необходимый признак сходимости ряда
Сравнение рядов с положительными членами
Признак Даламбера
Признак Коши
Интегральный признак сходимости ряда
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Функциональные ряды
Мажорируемые ряды
Непрерывность суммы ряда
Интегрирование и дифференцирование рядов
Степенные ряды. Интеграл сходимости
Дифференцирование степенных рядов
Ряды по степеням x-a
Ряды Тейлора и Маклорена
Примеры разложения функций в ряды
Формула Эйлера
Биномиальный ряд
Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
Уравнение Бесселя
Ряды с комплексными числами
Степенные ряды с комплексной переменной
Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения главе 16 Ряды Фурье
Определение. Постановка задачи
Примеры разложения функций в ряды Фурье
Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для функции с периодом 2t
О разложении непериодической функции в ряд Фурье
Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
Интеграл Дирихле
Сходимость ряда Фурье в данной точке
Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
Практический гармонический анализ
Ряд Фурье в комплексной форме
Интеграл Фурье
Интеграл Фурье в комплексной форме
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе 17 Уравнения математической физики
Основные типы уравнений математической физики
Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
Распространение тепла в пространстве
Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
Распространение тепла в неограниченном стержне
Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа. Формулировка краевых задач
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
Решение задачи Дирихле для круга
Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе 18 Операционное исчисление и некоторые его приложения
Начальная функция и ее изображение
Изображение функций sin t, cos t
Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at и др.
Свойство линейности изображения
Теорема смещения
Изображение функций sh at, ch at и др.
Дифференцирование изображения
Изображение производных
Таблица некоторых изображений
Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
Теорема разложения
Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
Теорема свертывания
Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
Решение дифференциального уравнения колебаний
Исследование свободных колебаний
Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
Решение уравнения колебаний в случае резонанса
Теорема запаздывания
Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе 19 Элементы теории вероятностей и математической статистики
Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
Умножение вероятностей независимых событий
Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
Вероятность гипотез. Формула Байеса
Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
Функции от случайных величин
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
Вероятное (срединное) отклонение как срединная ошибка
Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
Среднеарифметическая ошибка
Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
Двумерная случайная величина
Нормальный закон распределения на плоскости
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
Задачи математической статистики. Статистический материал
Статистический ряд. Гистограмма
Определение подходящего значения измеряемой величины
Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе 20 Матрицы, матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений
Линейные преобразования. Матрица
Общие определения, связанные с понятием матрицы
Обратное преобразование
Действия над матрицами. Сложение матриц
Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
Обратная матрица
Нахождение матрицы, обратной данной
Матричная запись системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений матричным методом
Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
Собственный вектор линейного преобразования
Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
Квадратичные формы и их преобразования
Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
Дифференцирование и интегрирование матриц
Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использование матричной записи
Упражнения к главе 21 Приложения
Предметный указатель
Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). Для студентов высших технических учебных заведений. Допущено Министерством высшего а среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для высших технических учебных заведений. См. также перевод этой книги на английский язык: /file/2744277/ Содержание:
Предисловие к девятому изданию
Предисловие к пятому изданию Дифференциальные уравнения
Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
Определения
Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
Однородные уравнения первого порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
Огибающая семейства кривых
Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
Уравнение Клеро
Уравнение Лагранжа
Ортогональные и изогональные траектории
Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)
Уравнение вида
Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения второго порядка
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение механических колебаний
Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
Вынужденные колебания
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса
Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе 13 Кратные интегралы
Двойной интеграл
Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла (продолжение)
Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
Двойной интеграл в полярных координатах
Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
Вычисление площади поверхности
Плотность распределения вещества и двойной интеграл
Момент инерции площади плоской фигуры
Координаты центра масс площади плоской фигуры
Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла
Замена переменных в тройном интеграле
Момент инерции и координаты центра масс тела
Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе 14 Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
Криволинейный интеграл
Вычисление криволинейного интеграла
Формула Грина
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Поверхностный интеграл
Вычисление поверхностного интеграла
Формула Стокса
Формула Остроградского
Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе 15 Ряды
Ряд. Сумма ряда
Необходимый признак сходимости ряда
Сравнение рядов с положительными членами
Признак Даламбера
Признак Коши
Интегральный признак сходимости ряда
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Функциональные ряды
Мажорируемые ряды
Непрерывность суммы ряда
Интегрирование и дифференцирование рядов
Степенные ряды. Интеграл сходимости
Дифференцирование степенных рядов
Ряды по степеням x-a
Ряды Тейлора и Маклорена
Примеры разложения функций в ряды
Формула Эйлера
Биномиальный ряд
Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
Уравнение Бесселя
Ряды с комплексными числами
Степенные ряды с комплексной переменной
Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения главе 16 Ряды Фурье
Определение. Постановка задачи
Примеры разложения функций в ряды Фурье
Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для функции с периодом 2t
О разложении непериодической функции в ряд Фурье
Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
Интеграл Дирихле
Сходимость ряда Фурье в данной точке
Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
Практический гармонический анализ
Ряд Фурье в комплексной форме
Интеграл Фурье
Интеграл Фурье в комплексной форме
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе 17 Уравнения математической физики
Основные типы уравнений математической физики
Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
Распространение тепла в пространстве
Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
Распространение тепла в неограниченном стержне
Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа. Формулировка краевых задач
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
Решение задачи Дирихле для круга
Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе 18 Операционное исчисление и некоторые его приложения
Начальная функция и ее изображение
Изображение функций sin t, cos t
Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at и др.
Свойство линейности изображения
Теорема смещения
Изображение функций sh at, ch at и др.
Дифференцирование изображения
Изображение производных
Таблица некоторых изображений
Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
Теорема разложения
Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
Теорема свертывания
Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
Решение дифференциального уравнения колебаний
Исследование свободных колебаний
Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
Решение уравнения колебаний в случае резонанса
Теорема запаздывания
Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе 19 Элементы теории вероятностей и математической статистики
Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
Умножение вероятностей независимых событий
Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
Вероятность гипотез. Формула Байеса
Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
Функции от случайных величин
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
Вероятное (срединное) отклонение как срединная ошибка
Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
Среднеарифметическая ошибка
Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
Двумерная случайная величина
Нормальный закон распределения на плоскости
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
Задачи математической статистики. Статистический материал
Статистический ряд. Гистограмма
Определение подходящего значения измеряемой величины
Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе 20 Матрицы, матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений
Линейные преобразования. Матрица
Общие определения, связанные с понятием матрицы
Обратное преобразование
Действия над матрицами. Сложение матриц
Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
Обратная матрица
Нахождение матрицы, обратной данной
Матричная запись системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений матричным методом
Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
Собственный вектор линейного преобразования
Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
Квадратичные формы и их преобразования
Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
Дифференцирование и интегрирование матриц
Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использование матричной записи
Упражнения к главе 21 Приложения
Предметный указатель