Санкт-Петербургский государственный морской технический
университет
(СПбГМТУ), Факультет кораблестроения и океанотехники,
Кафедра прикладной математики и математического моделирования, 2007, 88 c. Реферат
Настоящая дипломная работа посвящена математическому моделированию
нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных обла-
стях сложной геометрии с подвижными границами.
Предложенный метод основывается на решения осредненных по Рейнольд-
су уравнений Навье-Стокса, замкнутых при помощи модели турбулентности
Спаларта-Аллмараса.
Расчетный алгоритм построен с использованием метода искусственной
сжимаемости, что позволяет избежать возникновения неустойчивости реше-
ния при наложении условия несжимаемости. Получение монотонного решения
при сохранении точности обеспечивается путем применения противопоточ-
ной схемы высокого порядка для расчета конвективных слагаемых. Для про-
странственной дискретизации определяющих уравнений применяется метод
конечных объемов на неструктурированных треугольных сетках. Нахождение
конвективного и диффузионного потоков через границу контрольной ячейки
осуществляется при помощи полиномиальной аппроксимации второго поряд-
ка точности на неструктурированных сетках.
Для дискретизации по времени в общем случае используется неявная схема
второго порядка. При расчете нестационарного течения применяется метод
двойных шагов по времени. Результирующая система линейных уравнений ре-
шается методом бисопряженных градиентов.
Проанализировано влияние порядка аппроксимации слагаемых уравнений
Навье-Стокса на точность вычислений и устойчивость решения. Верификация
расчетного метода показала удовлетворительное соответствие полученных
результатов расчета для различных режимов течения в двумерных областях
с известными и расчетными данными.
Дипломная работа содержит 88 страниц Оглавление
Список иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение 8
1 Обзор методов вычислительной аэрогидродинамики 11
1.1 Математическая модель движения жидкости . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Уравнения движения сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Уравнения Навье-Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Динамическое подобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Приближения уравнений Навье-Стокса. Моделирование тур-
булентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Численные методы решения задач вычислительной гидродинамики . 23
1.2.1 Дискретизация определяющих уравнений . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Разбиение расчетной области на элементы . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Особенности методов решения уравнений Навье-Стокса для
несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4 Задачи с подвижными границами . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5 Методы решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Численная реализация разработанного метода 37
2.1 Общая постановка задачи и основные допущения . . . . . . . . . . . 37
2.2 Особенности метода расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов . . . . . . 39
2.3.1 Аппроксимация невязкого потока . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Полиномиальная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Аппроксимация вязкого потока . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.4 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Неявная дискретизация по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Одинарный шаг по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Двойной шаг по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3 Построение матрицы СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Расчет турбулентной вязкости. Модель Спаларта-Аллмараса . . . . . 55
2.5.1 Дискретизация по пространству . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2 Дискретизация по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Программная реализация. Расчетные алгоритмы . . . . . . . . . . . . 61
2.6.1 Алгоритм расчета установившегося течения . . . . . . . . . . 61
2.6.2 Алгоритм расчета нестационарного течения . . . . . . . . . . 62
2.6.3 Алгоритм решения системы линейных алгебраических урав-
нений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Верификация расчетного метода. Анализ результатов расчетов 64
3.1 Интегральные и распределенные гидродинамические характеристики 64
3.2 Оценка сходимости метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Результаты тестовых расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра в канале . 66
3.3.2 Задача обтекания двумерного канала с обратным уступом . . 72
3.3.3 Задача обтекания двумерного квадратного цилиндра в неогра-
ниченной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.4 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра, соверша-
ющего вынужденные колебания поперек потока . . . . . . . . 78
Заключение 84
Литература 85
(СПбГМТУ), Факультет кораблестроения и океанотехники,
Кафедра прикладной математики и математического моделирования, 2007, 88 c. Реферат
Настоящая дипломная работа посвящена математическому моделированию
нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных обла-
стях сложной геометрии с подвижными границами.
Предложенный метод основывается на решения осредненных по Рейнольд-
су уравнений Навье-Стокса, замкнутых при помощи модели турбулентности
Спаларта-Аллмараса.
Расчетный алгоритм построен с использованием метода искусственной
сжимаемости, что позволяет избежать возникновения неустойчивости реше-
ния при наложении условия несжимаемости. Получение монотонного решения
при сохранении точности обеспечивается путем применения противопоточ-
ной схемы высокого порядка для расчета конвективных слагаемых. Для про-
странственной дискретизации определяющих уравнений применяется метод
конечных объемов на неструктурированных треугольных сетках. Нахождение
конвективного и диффузионного потоков через границу контрольной ячейки
осуществляется при помощи полиномиальной аппроксимации второго поряд-
ка точности на неструктурированных сетках.
Для дискретизации по времени в общем случае используется неявная схема
второго порядка. При расчете нестационарного течения применяется метод
двойных шагов по времени. Результирующая система линейных уравнений ре-
шается методом бисопряженных градиентов.
Проанализировано влияние порядка аппроксимации слагаемых уравнений
Навье-Стокса на точность вычислений и устойчивость решения. Верификация
расчетного метода показала удовлетворительное соответствие полученных
результатов расчета для различных режимов течения в двумерных областях
с известными и расчетными данными.
Дипломная работа содержит 88 страниц Оглавление
Список иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение 8
1 Обзор методов вычислительной аэрогидродинамики 11
1.1 Математическая модель движения жидкости . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Уравнения движения сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Уравнения Навье-Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Динамическое подобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Приближения уравнений Навье-Стокса. Моделирование тур-
булентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Численные методы решения задач вычислительной гидродинамики . 23
1.2.1 Дискретизация определяющих уравнений . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Разбиение расчетной области на элементы . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Особенности методов решения уравнений Навье-Стокса для
несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4 Задачи с подвижными границами . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5 Методы решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Численная реализация разработанного метода 37
2.1 Общая постановка задачи и основные допущения . . . . . . . . . . . 37
2.2 Особенности метода расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов . . . . . . 39
2.3.1 Аппроксимация невязкого потока . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Полиномиальная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Аппроксимация вязкого потока . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.4 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Неявная дискретизация по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Одинарный шаг по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Двойной шаг по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3 Построение матрицы СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Расчет турбулентной вязкости. Модель Спаларта-Аллмараса . . . . . 55
2.5.1 Дискретизация по пространству . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2 Дискретизация по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Программная реализация. Расчетные алгоритмы . . . . . . . . . . . . 61
2.6.1 Алгоритм расчета установившегося течения . . . . . . . . . . 61
2.6.2 Алгоритм расчета нестационарного течения . . . . . . . . . . 62
2.6.3 Алгоритм решения системы линейных алгебраических урав-
нений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Верификация расчетного метода. Анализ результатов расчетов 64
3.1 Интегральные и распределенные гидродинамические характеристики 64
3.2 Оценка сходимости метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Результаты тестовых расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра в канале . 66
3.3.2 Задача обтекания двумерного канала с обратным уступом . . 72
3.3.3 Задача обтекания двумерного квадратного цилиндра в неогра-
ниченной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.4 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра, соверша-
ющего вынужденные колебания поперек потока . . . . . . . . 78
Заключение 84
Литература 85