Математический анализ. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Некоторые научные и технические задачи решаются с помощью дифференциальных уравнений. Однако дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами встречаются очень редко. Поэтому особое значение имеют приближенные методы решения таких уравнений. К известным относятся метод Эйлера и метод Рунге–Кутта.
1. Математическая постановка задачи. Дано дифференциальное уравнение первого порядка.
y' = f(x;y),
удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у
0. Необходимо найти решение этого уравнения на отрезке [х0;х1].
2. Метод Эйлера. Для задачи Коши решение уравнения находится по следующей реккурентной формуле:
Yk|1 = Yk + hf(Xk;Yk),
где Х0 = Х0 + hf; Х0 = 0; k = 1, N – 1.
3. Метод Рунге–Кутта. 4 – го порядка для задачи Коши решение уравнения задается реккурентной формулой:
Yk+1 = Yk + ((m1 + 2m2 + 2m3 + m4)h)/6, где
m1 = f(xk;yk); m2 = f(xk + h/2;yk + m1h/2); m3 = f(xk + h/2;yk + m2h/2);
m4 = f(xk + h/2;yk + m3h/2); k = 1, N – 1.