М., ГИУПЛ, 1950 г. – 128 с.
В первой части книги кратко, но систематично изложена геометрия
Лобачевского, освещены основные идеи этой геометрии и их огромное
влияние на развитие науки.
Во второй части изложены основные положения "Начал" Евклида и элементы оснований геометрии.
Книга будет служить полезным пособием для учителей математики средней школы, а также для учащихся старших классов. Предисловие
Bведение
Обзор основных теорем до введения параллельных
Teopeмы Лежандра-Саккери о сумме углов треугольника
Постулат Паша
Четырёхугольник с двумя прямыми углами и его свойства
Предложения, эквивалентные постулату Евклида
Сумма углов треугольника paвнa 2d
Предложение, эквивалентное постулату Евклида
Сумма углов в каждом треугольнике одна и та же - предложение, эквивалентное постулату Евклида
Ошибочное доказательство Лежандра теоремы: «Сумма углов треугольника не может быть меньше 2d»
Через любую точкy внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла, - предложение, эквивалентное .постулату Евклида
Существуют два подобных, но не равных треугольника-предложение эквивалентное постулату Евклида
Одно мнимое доказательство постулaтa Евклида, принадлежащее Клавию
Теорема В. Болиаи
Ещё одно предложение, эквивалентное постулату о параллелях
Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу-предложение, эквивалентное постулату Евклида
О некоторых фактах геометрии Лобачевского
Постулат Лобачевского
Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского
Теорема о перпендикуляре к одной стороне угла, не пересекающей другую
Эквидистанта
Ещё некоторые теоремы геометрии Лобачевского
О треугольниках, около которых нельзя описать окружность
Сторона правильного вписанного в круг шестиугольника больше paдиyca этого круга
Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
Параллельные и сверхпараллельные прямые
Свойства параллельных прямых
Угол параллельности
Свойства сверxпараллелей Лобачевского
Некоторые частные случаи взаимного расположения примых на плоскости Лобачевского
Учение о площадях в гeометрии Лобочевского
Конгруентность четырёхугольников Саккери
Дефект треугольника и площадь треугольника
Предельный случай треугольников
Предложение о существовании тpeyгольника, площадь которого как угодно велика, эквивалентно постулату
Евклида
Обзор вклада, сдeлaннoгo Лобачевским в математику
Обзор евклидовых «Начал»
Содержание "Начал" Евклида
Способ изложения «Начал»
Основные положения «Начал»
О некоторых недостатках, достоинствах и историческом значении «Начал»
Основные объекты, основные отношения между этими объектами и аксиомы геометрии
Аксиоматическое построение геометрии. Основные понятия
Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности)
Вторая группа аксиом: аксиомы порядка
Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности и движения
Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных
Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности
Идея интерпретации геометрической системы
Пример интерпретации плоской геометрии Евклида
Интерпретация Фёдорова
Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Интерпретация Бельтрами-Клейна геометрии Лобачевского
Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости
Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского в пространстве
Эквидистантные поверхности, предельные поверхности и сферы
Совместность и независимость аксиом. Изоморфизм
Совместность системы аксиом
Независимость аксиом
Эквивалентность двух систем аксиом
О понятии изоморфизма
Заключение
Литература
Во второй части изложены основные положения "Начал" Евклида и элементы оснований геометрии.
Книга будет служить полезным пособием для учителей математики средней школы, а также для учащихся старших классов. Предисловие
Bведение
Обзор основных теорем до введения параллельных
Teopeмы Лежандра-Саккери о сумме углов треугольника
Постулат Паша
Четырёхугольник с двумя прямыми углами и его свойства
Предложения, эквивалентные постулату Евклида
Сумма углов треугольника paвнa 2d
Предложение, эквивалентное постулату Евклида
Сумма углов в каждом треугольнике одна и та же - предложение, эквивалентное постулату Евклида
Ошибочное доказательство Лежандра теоремы: «Сумма углов треугольника не может быть меньше 2d»
Через любую точкy внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла, - предложение, эквивалентное .постулату Евклида
Существуют два подобных, но не равных треугольника-предложение эквивалентное постулату Евклида
Одно мнимое доказательство постулaтa Евклида, принадлежащее Клавию
Теорема В. Болиаи
Ещё одно предложение, эквивалентное постулату о параллелях
Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу-предложение, эквивалентное постулату Евклида
О некоторых фактах геометрии Лобачевского
Постулат Лобачевского
Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского
Теорема о перпендикуляре к одной стороне угла, не пересекающей другую
Эквидистанта
Ещё некоторые теоремы геометрии Лобачевского
О треугольниках, около которых нельзя описать окружность
Сторона правильного вписанного в круг шестиугольника больше paдиyca этого круга
Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
Параллельные и сверхпараллельные прямые
Свойства параллельных прямых
Угол параллельности
Свойства сверxпараллелей Лобачевского
Некоторые частные случаи взаимного расположения примых на плоскости Лобачевского
Учение о площадях в гeометрии Лобочевского
Конгруентность четырёхугольников Саккери
Дефект треугольника и площадь треугольника
Предельный случай треугольников
Предложение о существовании тpeyгольника, площадь которого как угодно велика, эквивалентно постулату
Евклида
Обзор вклада, сдeлaннoгo Лобачевским в математику
Обзор евклидовых «Начал»
Содержание "Начал" Евклида
Способ изложения «Начал»
Основные положения «Начал»
О некоторых недостатках, достоинствах и историческом значении «Начал»
Основные объекты, основные отношения между этими объектами и аксиомы геометрии
Аксиоматическое построение геометрии. Основные понятия
Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности)
Вторая группа аксиом: аксиомы порядка
Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности и движения
Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных
Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности
Идея интерпретации геометрической системы
Пример интерпретации плоской геометрии Евклида
Интерпретация Фёдорова
Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Интерпретация Бельтрами-Клейна геометрии Лобачевского
Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости
Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского в пространстве
Эквидистантные поверхности, предельные поверхности и сферы
Совместность и независимость аксиом. Изоморфизм
Совместность системы аксиом
Независимость аксиом
Эквивалентность двух систем аксиом
О понятии изоморфизма
Заключение
Литература