Минск: Наука и техника, 1985. — 280 с.
В книге рассматриваются вопросы теории и практики реализации
вычислительных методов, предназначенных для решения систем линейных
алгебраических уравнений, вычисления собственных значений и
векторов матриц, решения нелинейных численных уравнений. В нее
включены как хорошо известные классические методы, так и методы,
теория которых развита сравнительно недавно.
Книга адресована лицам, занимающимся вычислительной математикой или желающим самостоятельно изучать ее. Она будет полезна работникам вычислительных центров, а также студентам вузов, изучающим вычислительную математику. Системы линейных алгебраических уравнений.
Некоторые сведения из линейной алгебры. Сходимость последовательностей векторов и матриц. Нормы векторов и матриц. Сходимость матричной геометрической прогрессии. Итерационные методы. Основные разновидности итерационных процессов. Метод простой итерации. Метод Ричардсона. Метод Зейделя и метод релаксации. Общий неявный метод простой итерации для систем уравнений с положительно определенной симметрической матрицей. Теорема А. А. Самарского о сходимости метода. Об оптимизации общего неявного метода простой итерации. Частные виды общего неявного метода простой итерации. Методы исключения. Метод Гаусса. Метод оптимального исключения. Метод окаймления. Вычисление определителей. Обращение матриц. Методы, основанные на разложениях матрицы. Метод квадратного корня. Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов, ортогональных в некоторой метрике. Метод ортогонализации. Алгоритм Уилкинсона. Метод сопряженных градиентов. Вариант метода сопряженных градиентов. Метод скорейшего спуска. Способы оценки погрешности приближенного решения системы. Обусловленность систем уравнений и матриц. Оценка погрешности. Проблема собственных значений.
Метод А. Н. Крылова. Некоторые сведения из алгебры. Нахождение собственных значений матрицы. Вычисление собственных векторов матрицы. Метод А. М. Данилевского. Построение собственного многочлена матрицы. Вычисление собственных векторов матрицы. Другие методы получения собственного многочлена матрицы. Интерполяционный метод. Метод Леверье. Метод Д. К. Фаддеева. Метод окаймления. Метод ортогонализации. Метод Хессенберга. Итерационные методы нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод для вычисления наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы. Метод вращений. Случай вещественных симметрических матриц. Сходимость метода вращений. Треугольный степенной метод. Построение и обоснование алгоритма, теорема Бауэра. Вычислительная схема метода. Вычисление собственных векторов. LR-Алгоритм для произвольных действительных матриц. QR-Алгоритм. Описание метода и его сходимость. Схема метода в случае симметрических и симметрических ленточных матриц. О приведении симметрической матрицы к ленточной трехдиагональной форме. Комбинированный QR-алгоритм с методом Ньютона. Уточнение собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц и ускорение сходимости метода итерации при решении систем линейных алгебраических уравнений. Уточнение всех собственных значений. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора. Дельта2-Процесс Эйткена. Нелинейные уравнения и их системы.
Метод итераций. Случай одного уравнения с численной неизвестной. О методе итераций для уравнений неканонического вида. Об ускорении сходимости простой одношаговой итерации. Применение преобразования Эйткена. Ускорение сходимости при помощи преобразования уравнения. Понятие об общей теории метода итераций. Теорема о сжатых отображениях. Случай системы уравнений. Замечание о порядке вычислений при подстановках. Метод Ньютона. Метод Ньютона для одного уравнения. О некоторых изменениях метода Ньютона. Метод секущих. Видоизмененный метод с постоянным значением производной. Замечания об увеличении степени точности. Метод Ньютона для системы уравнений. О методе Ньютона для операторных уравнений. Решение алгебраических уравнений при помощи выделения множителей. Нахождение линейного множителя многочлена.
Книга адресована лицам, занимающимся вычислительной математикой или желающим самостоятельно изучать ее. Она будет полезна работникам вычислительных центров, а также студентам вузов, изучающим вычислительную математику. Системы линейных алгебраических уравнений.
Некоторые сведения из линейной алгебры. Сходимость последовательностей векторов и матриц. Нормы векторов и матриц. Сходимость матричной геометрической прогрессии. Итерационные методы. Основные разновидности итерационных процессов. Метод простой итерации. Метод Ричардсона. Метод Зейделя и метод релаксации. Общий неявный метод простой итерации для систем уравнений с положительно определенной симметрической матрицей. Теорема А. А. Самарского о сходимости метода. Об оптимизации общего неявного метода простой итерации. Частные виды общего неявного метода простой итерации. Методы исключения. Метод Гаусса. Метод оптимального исключения. Метод окаймления. Вычисление определителей. Обращение матриц. Методы, основанные на разложениях матрицы. Метод квадратного корня. Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов, ортогональных в некоторой метрике. Метод ортогонализации. Алгоритм Уилкинсона. Метод сопряженных градиентов. Вариант метода сопряженных градиентов. Метод скорейшего спуска. Способы оценки погрешности приближенного решения системы. Обусловленность систем уравнений и матриц. Оценка погрешности. Проблема собственных значений.
Метод А. Н. Крылова. Некоторые сведения из алгебры. Нахождение собственных значений матрицы. Вычисление собственных векторов матрицы. Метод А. М. Данилевского. Построение собственного многочлена матрицы. Вычисление собственных векторов матрицы. Другие методы получения собственного многочлена матрицы. Интерполяционный метод. Метод Леверье. Метод Д. К. Фаддеева. Метод окаймления. Метод ортогонализации. Метод Хессенберга. Итерационные методы нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод для вычисления наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы. Метод вращений. Случай вещественных симметрических матриц. Сходимость метода вращений. Треугольный степенной метод. Построение и обоснование алгоритма, теорема Бауэра. Вычислительная схема метода. Вычисление собственных векторов. LR-Алгоритм для произвольных действительных матриц. QR-Алгоритм. Описание метода и его сходимость. Схема метода в случае симметрических и симметрических ленточных матриц. О приведении симметрической матрицы к ленточной трехдиагональной форме. Комбинированный QR-алгоритм с методом Ньютона. Уточнение собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц и ускорение сходимости метода итерации при решении систем линейных алгебраических уравнений. Уточнение всех собственных значений. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора. Дельта2-Процесс Эйткена. Нелинейные уравнения и их системы.
Метод итераций. Случай одного уравнения с численной неизвестной. О методе итераций для уравнений неканонического вида. Об ускорении сходимости простой одношаговой итерации. Применение преобразования Эйткена. Ускорение сходимости при помощи преобразования уравнения. Понятие об общей теории метода итераций. Теорема о сжатых отображениях. Случай системы уравнений. Замечание о порядке вычислений при подстановках. Метод Ньютона. Метод Ньютона для одного уравнения. О некоторых изменениях метода Ньютона. Метод секущих. Видоизмененный метод с постоянным значением производной. Замечания об увеличении степени точности. Метод Ньютона для системы уравнений. О методе Ньютона для операторных уравнений. Решение алгебраических уравнений при помощи выделения множителей. Нахождение линейного множителя многочлена.