Учебное пособие. М.: МИФИ, 2007 . 632 с. Распознано
Учебное пособие написано на основе лекций, читаемых на третьем курсе Высшего физического колледжа, существующего на правах факультета в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете), студентам, обучающимся по специальностям «Физика конденсированного состояния», «Лазерная физика», «Физика плазмы», а также на основе практических занятий по компьютерному моделированию в среде MATLAB.
В книге рассмотрены основные численные методы моделирования квантовых физических систем: метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы; квантовый и классический методы Монте-Карло. Объяснены способы выбора адекватного дискретного базиса волновых функций, нахождения спектра и различных корреляционных функций систем, описываемых основными типами квантовых статистик – статистиками Ферми, Бозе и спиновой. Исследованы проблемы численного анализа температурных и термодинамических характеристик различных систем; проведено знакомство с современными моделями физики коррелированных состояний: различными моделями Хаббарда, Бозе – Хаббарда, спиновыми моделями, представлен достаточно полный обзор современных численных квантовых методов Монте-Карло, подробно рассмотрены детали многих квантовых алгоритмов.
Предназначено для студентов, специализирующихся в физике конденсированного состояния. Пособие также может быть полезно студентам и аспирантам других физических специальностей, а также преподавателям и специалистам, занимающимся физикой конденсированного состояния. Последняя часть книги, посвященная квантовым методам Монте-Карло, предназначена для специалистов, занимающихся моделированием сложных сильно коррелированных квантовых систем.
Оглавление (в 4 частях 13 глав и 5 приложений):
Предисловие
Введение
Квантовые одночастичные задачи
Матричная формулировка квантовой механики. Операции с матрицами
Уравнение Шредингера
Собственно энергетическое представление и собственные функции оператора H Определение спектра. Инварианты матриц
Поиск и сортировка. Математические проблемы при построении базисных функций
Квантовые одночастичные задачи
Бесконечная потенциальная яма
Конечная потенциальная яма
Импульсное представление
Дискретное преобразование Фурье
Решение одночастичной задачи в импульсном представлении
Квантовые многочастичные задачи
Формализм вторичного квантования. Представление чисел заполнения
Одномерный гармонический осциллятор
Поле смещений в струне
Формализм вторичного квантования
Одночастичный базис
Двух- и многочастичный базисы. Коммутационные соотношения
Базис в представлении чисел заполнения. Действие операторов на волновые функции из этого базиса в случае статистики Ферми
Операторы физических величин
Полевые операторы и вторичное квантование
Модели сильнокоррелированных систем. Статистика Ферми
Модель сильной связи
Гамильтонова матрица и базис для модели сильной связи
Аналитическое решение модели сильной связи без взаимодействия
Модель Хаббарда
Гамильтонова матрица модели Хаббарда и ее расширенных аналогов
Спектр модели Хаббарда и приближение среднего поля
Инварианты в модели Хаббарда
Расчет квантово-механических средних
Бозе-статистика. Модель Бозе – Хаббарда
Вторичное квантование в случае статистики Бозе
Модель Бозе – Хаббарда
Построение гамильтоновой матрицы
Аналитическое решение модели Бозе – Хаббарда без взаимодействия
Инварианты в модели Бозе – Хаббарда
Градиентно-инвариантная фаза. Токовые состояния
Спиновые степени свободы
Спиновые операторы и узельный базис
Формирование гамильтоновой матрицы для спиновых моделей
Инварианты в спиновых моделях
Некоторые результаты для модели Гейзенберга. Спектр возбуждений
Соотношения и предельные случаи для фермионных, бозонных и спиновых моделей
Связь между бозонной и спиновыми моделями
Соответствие между моделью Хаббарда и спиновыми моделями
Некоторые физические и математические особенности метода точной диагонализации
Конечные кластеры и трансляционная инвариантность
Точная диагонализация больших матриц
Пространства и инвариантные подпространства. Процедура Рэлея –Ритца
Алгоритм Ланцоша
Расчет функций линейного отклика и плотности состояний
Термодинамика. метод монте-карло
Статистическое описание систем многих частиц
Микроканонический ансамбль
Канонический ансамбль
Большой канонический ансамбль
Примеры
Совокупность магнитных моментов
Модели сильной связи
Одномерная модель Изинга
Статистика Больцмана, Ферми и Бозе. Плотность состояний
Функции распределения
Плотность состояний
Термодинамика идеального ферми-газа
Термодинамика идеального бозе-газа
Методы Монте-Карло для физических систем
Случайные распределения. Вероятность
Метод обратной функции и метод фон Неймана
Нормальное распределение
Почти линейная плотность распределения
Двумерные распределения
Случайные величины и центральная предельная теорема.
Общая схема метода Монте-Карло
Расчет интегралов методом Монте-Карло
Марковская цепь и принцип детального равновесия
Марковская цепь. Понятие эргодичности
Принцип детального равновесия
Практическая реализация методов Монте-Карло
Модель Изинга
Формулировка модели и некоторые аналитические результаты
Метод Монте-Карло для модели Изинга
Решеточный газ
Формулировка модели и некоторые аналитические результаты
Реализация алгоритма Монте-Карло
Моделирование вихревой структуры в высокотемпературных сверхпроводниках
Формулировка модели и некоторые аналитические и экспериментальные данные
Метод Монте-Карло для сверхпроводящей ВТСП-пластины
Результаты моделирования для ВТСП-пластины
Расчет термодинамических средних и оценка погрешности.
Автокорреляционный анализ в стохастическом моделировании
Диаграммные методы и высокотемпературное разложение.
Преобразование операторов физических величин
Квантовые методы Монте-Карло
Дискретные квантовые алгоритмы Монте-Карло
Траекторный квантовый алгоритм Монте-Карло (World-Line Quantum Monte-Carlo Algorithm)
Статистика Ферми
Алгоритм шахматной доски (Checkerboard algorithm)
Расчет средних величин
Расчет величин, локально сохраняющих число частиц
Расчет величин, не сохраняющих локально число частиц
Проблема знака (Minus Sign Problem) в квантовом алгоритме Монте-Карло
Два типа проблемы знака
Модели, свободные от проблемы знака
Быстрый расчет и коррекция энергии основного состояния
Особенности статистики Бозе
Winding numbers
Связь фермионного знака и winding numbers в траекторных методах
Конфигурации без разрывов
Конфигурации с двумя разрывами
Конфигурации с несколькими разрывами
Особенности спиновой статистики
Модификации траекторного алгоритма Монте-Карло для конкретных задач
Усеченные модели с ферми-статистикой. t-J-модель
Моделирование сверхпроводящих плоскостей в высокотемпературных сверхпроводниках
Многозонная двумерная модель Эмери
Траекторные алгоритмы МК для плоскости CuO2
Квантовый детерминантный метод МК
Основные принципы детерминантного алгоритма
Конкретная реализация метода
Расчет плотности состояний с помощью детерминантного алгоритма
Приложение Преобразование Хаббарда – Стратоновича
Приложение Теорема о следе экспоненты билинейной формы одночастичных операторов
Петлевые алгоритмы (Loop algorithms)
Метод континуального интегрирования (Path integral Monte Carlo)
Матрица плотности и интегралы по траекториям
Определения и свойства
Уравнение для матрицы плотности
Матрица плотности для свободной частицы
Интегралы по траекториям
Функция Ф(x) для свободной частицы
Функция Ф(x) для частицы, находящейся во внешнем поле
Разложение матрицы плотности в ряд теории возмущений
Формулировка алгоритма PIMC
Расчет квантовых средних и некоторые результаты
Квантовые алгоритмы в непрерывном времени
Траекторный метод в непрерывном времени (Continuous Time World Line – CTWL)
Представление взаимодействия при конечных температурах
Приложение Вывод разложения статистической суммы
Общая формулировка CTWL-алгоритма
CTWL-алгоритм для дискретного базиса. Статистика Ферми и Бозе
Расчет средних и некоторые результаты расчета методом CTWL
Приложение CTWL-метод: формулы для баланса
Приложение CTWL-метод: алгоритм работы со списком имен
Алгоритм CTWL для спиновой статистики
Проблема знака в алгоритме CTWL. Особенности непрерывного времени и winding numbers
Алгоритмы на основе CTWL
Импульсный алгоритм
Обобщенный алгоритм CTWL
Формулировка метода для произвольного дискретного базиса
Процедуры обновления мгновенных конфигураций в фазовом пространстве
Расчет модели Холстейна – Хаббарда
Расчет модели Бозе – Хаббарда
Континуальное интегрирование в непрерывном времени
Алгоритм PIMC-WA
Формулировка алгоритма
Процедуры обновления траекторий
Процедуры обновления траекторий. Расчет физических величин
Результаты расчетов
Алгоритм PIMC-WA. Прямое суммирование диаграмм в континуальном представлении
Диаграммы разложения матрицы плотности в ряд теории
возмущений по степеням взаимодействия
Процедуры МК для обновления диаграмм
Расчет физических величин
Детерминантный метод для фермионов в непрерывном времени
Описание метода
Обновление конфигураций
Сдвиг взаимодействия для уменьшения проблемы знака
Приложение Представление многочастичного коррелятора через определители от одночастичных функций Грина
Методы высокотемпературного разложения
Общая формулировка SSE-алгоритма
Расчет квантово-механических средних
Применение SSE-алгоритма для гейзенберговского антиферромагнетика
Результаты расчетов
Высокотемпературное разложение и петлевые алгоритмы
Формулировка SSE-алгоритма для XXZ-модели
SSE с операторно-петлевыми обновлениями
SSE с прямыми петлями
Метод SSE с прямыми петлями для XXZ модели
Процедуры перевзвешивания (Reweighting)
Заключение
Список литературы
Учебное пособие написано на основе лекций, читаемых на третьем курсе Высшего физического колледжа, существующего на правах факультета в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете), студентам, обучающимся по специальностям «Физика конденсированного состояния», «Лазерная физика», «Физика плазмы», а также на основе практических занятий по компьютерному моделированию в среде MATLAB.
В книге рассмотрены основные численные методы моделирования квантовых физических систем: метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы; квантовый и классический методы Монте-Карло. Объяснены способы выбора адекватного дискретного базиса волновых функций, нахождения спектра и различных корреляционных функций систем, описываемых основными типами квантовых статистик – статистиками Ферми, Бозе и спиновой. Исследованы проблемы численного анализа температурных и термодинамических характеристик различных систем; проведено знакомство с современными моделями физики коррелированных состояний: различными моделями Хаббарда, Бозе – Хаббарда, спиновыми моделями, представлен достаточно полный обзор современных численных квантовых методов Монте-Карло, подробно рассмотрены детали многих квантовых алгоритмов.
Предназначено для студентов, специализирующихся в физике конденсированного состояния. Пособие также может быть полезно студентам и аспирантам других физических специальностей, а также преподавателям и специалистам, занимающимся физикой конденсированного состояния. Последняя часть книги, посвященная квантовым методам Монте-Карло, предназначена для специалистов, занимающихся моделированием сложных сильно коррелированных квантовых систем.
Оглавление (в 4 частях 13 глав и 5 приложений):
Предисловие
Введение
Квантовые одночастичные задачи
Матричная формулировка квантовой механики. Операции с матрицами
Уравнение Шредингера
Собственно энергетическое представление и собственные функции оператора H Определение спектра. Инварианты матриц
Поиск и сортировка. Математические проблемы при построении базисных функций
Квантовые одночастичные задачи
Бесконечная потенциальная яма
Конечная потенциальная яма
Импульсное представление
Дискретное преобразование Фурье
Решение одночастичной задачи в импульсном представлении
Квантовые многочастичные задачи
Формализм вторичного квантования. Представление чисел заполнения
Одномерный гармонический осциллятор
Поле смещений в струне
Формализм вторичного квантования
Одночастичный базис
Двух- и многочастичный базисы. Коммутационные соотношения
Базис в представлении чисел заполнения. Действие операторов на волновые функции из этого базиса в случае статистики Ферми
Операторы физических величин
Полевые операторы и вторичное квантование
Модели сильнокоррелированных систем. Статистика Ферми
Модель сильной связи
Гамильтонова матрица и базис для модели сильной связи
Аналитическое решение модели сильной связи без взаимодействия
Модель Хаббарда
Гамильтонова матрица модели Хаббарда и ее расширенных аналогов
Спектр модели Хаббарда и приближение среднего поля
Инварианты в модели Хаббарда
Расчет квантово-механических средних
Бозе-статистика. Модель Бозе – Хаббарда
Вторичное квантование в случае статистики Бозе
Модель Бозе – Хаббарда
Построение гамильтоновой матрицы
Аналитическое решение модели Бозе – Хаббарда без взаимодействия
Инварианты в модели Бозе – Хаббарда
Градиентно-инвариантная фаза. Токовые состояния
Спиновые степени свободы
Спиновые операторы и узельный базис
Формирование гамильтоновой матрицы для спиновых моделей
Инварианты в спиновых моделях
Некоторые результаты для модели Гейзенберга. Спектр возбуждений
Соотношения и предельные случаи для фермионных, бозонных и спиновых моделей
Связь между бозонной и спиновыми моделями
Соответствие между моделью Хаббарда и спиновыми моделями
Некоторые физические и математические особенности метода точной диагонализации
Конечные кластеры и трансляционная инвариантность
Точная диагонализация больших матриц
Пространства и инвариантные подпространства. Процедура Рэлея –Ритца
Алгоритм Ланцоша
Расчет функций линейного отклика и плотности состояний
Термодинамика. метод монте-карло
Статистическое описание систем многих частиц
Микроканонический ансамбль
Канонический ансамбль
Большой канонический ансамбль
Примеры
Совокупность магнитных моментов
Модели сильной связи
Одномерная модель Изинга
Статистика Больцмана, Ферми и Бозе. Плотность состояний
Функции распределения
Плотность состояний
Термодинамика идеального ферми-газа
Термодинамика идеального бозе-газа
Методы Монте-Карло для физических систем
Случайные распределения. Вероятность
Метод обратной функции и метод фон Неймана
Нормальное распределение
Почти линейная плотность распределения
Двумерные распределения
Случайные величины и центральная предельная теорема.
Общая схема метода Монте-Карло
Расчет интегралов методом Монте-Карло
Марковская цепь и принцип детального равновесия
Марковская цепь. Понятие эргодичности
Принцип детального равновесия
Практическая реализация методов Монте-Карло
Модель Изинга
Формулировка модели и некоторые аналитические результаты
Метод Монте-Карло для модели Изинга
Решеточный газ
Формулировка модели и некоторые аналитические результаты
Реализация алгоритма Монте-Карло
Моделирование вихревой структуры в высокотемпературных сверхпроводниках
Формулировка модели и некоторые аналитические и экспериментальные данные
Метод Монте-Карло для сверхпроводящей ВТСП-пластины
Результаты моделирования для ВТСП-пластины
Расчет термодинамических средних и оценка погрешности.
Автокорреляционный анализ в стохастическом моделировании
Диаграммные методы и высокотемпературное разложение.
Преобразование операторов физических величин
Квантовые методы Монте-Карло
Дискретные квантовые алгоритмы Монте-Карло
Траекторный квантовый алгоритм Монте-Карло (World-Line Quantum Monte-Carlo Algorithm)
Статистика Ферми
Алгоритм шахматной доски (Checkerboard algorithm)
Расчет средних величин
Расчет величин, локально сохраняющих число частиц
Расчет величин, не сохраняющих локально число частиц
Проблема знака (Minus Sign Problem) в квантовом алгоритме Монте-Карло
Два типа проблемы знака
Модели, свободные от проблемы знака
Быстрый расчет и коррекция энергии основного состояния
Особенности статистики Бозе
Winding numbers
Связь фермионного знака и winding numbers в траекторных методах
Конфигурации без разрывов
Конфигурации с двумя разрывами
Конфигурации с несколькими разрывами
Особенности спиновой статистики
Модификации траекторного алгоритма Монте-Карло для конкретных задач
Усеченные модели с ферми-статистикой. t-J-модель
Моделирование сверхпроводящих плоскостей в высокотемпературных сверхпроводниках
Многозонная двумерная модель Эмери
Траекторные алгоритмы МК для плоскости CuO2
Квантовый детерминантный метод МК
Основные принципы детерминантного алгоритма
Конкретная реализация метода
Расчет плотности состояний с помощью детерминантного алгоритма
Приложение Преобразование Хаббарда – Стратоновича
Приложение Теорема о следе экспоненты билинейной формы одночастичных операторов
Петлевые алгоритмы (Loop algorithms)
Метод континуального интегрирования (Path integral Monte Carlo)
Матрица плотности и интегралы по траекториям
Определения и свойства
Уравнение для матрицы плотности
Матрица плотности для свободной частицы
Интегралы по траекториям
Функция Ф(x) для свободной частицы
Функция Ф(x) для частицы, находящейся во внешнем поле
Разложение матрицы плотности в ряд теории возмущений
Формулировка алгоритма PIMC
Расчет квантовых средних и некоторые результаты
Квантовые алгоритмы в непрерывном времени
Траекторный метод в непрерывном времени (Continuous Time World Line – CTWL)
Представление взаимодействия при конечных температурах
Приложение Вывод разложения статистической суммы
Общая формулировка CTWL-алгоритма
CTWL-алгоритм для дискретного базиса. Статистика Ферми и Бозе
Расчет средних и некоторые результаты расчета методом CTWL
Приложение CTWL-метод: формулы для баланса
Приложение CTWL-метод: алгоритм работы со списком имен
Алгоритм CTWL для спиновой статистики
Проблема знака в алгоритме CTWL. Особенности непрерывного времени и winding numbers
Алгоритмы на основе CTWL
Импульсный алгоритм
Обобщенный алгоритм CTWL
Формулировка метода для произвольного дискретного базиса
Процедуры обновления мгновенных конфигураций в фазовом пространстве
Расчет модели Холстейна – Хаббарда
Расчет модели Бозе – Хаббарда
Континуальное интегрирование в непрерывном времени
Алгоритм PIMC-WA
Формулировка алгоритма
Процедуры обновления траекторий
Процедуры обновления траекторий. Расчет физических величин
Результаты расчетов
Алгоритм PIMC-WA. Прямое суммирование диаграмм в континуальном представлении
Диаграммы разложения матрицы плотности в ряд теории
возмущений по степеням взаимодействия
Процедуры МК для обновления диаграмм
Расчет физических величин
Детерминантный метод для фермионов в непрерывном времени
Описание метода
Обновление конфигураций
Сдвиг взаимодействия для уменьшения проблемы знака
Приложение Представление многочастичного коррелятора через определители от одночастичных функций Грина
Методы высокотемпературного разложения
Общая формулировка SSE-алгоритма
Расчет квантово-механических средних
Применение SSE-алгоритма для гейзенберговского антиферромагнетика
Результаты расчетов
Высокотемпературное разложение и петлевые алгоритмы
Формулировка SSE-алгоритма для XXZ-модели
SSE с операторно-петлевыми обновлениями
SSE с прямыми петлями
Метод SSE с прямыми петлями для XXZ модели
Процедуры перевзвешивания (Reweighting)
Заключение
Список литературы