Справочное пособие. — Минск: Вышэйшая школа, 1990. — 349 с.
В пособии рассмотрены наиболее часто применяемые численные методы
решения линейных и нелинейных задач строительной механики, краевых
задач и задач на собственные значения.
Предисловие.
Приближение функций. Методы приближенного дифференцирования и интегрирования.
Приближение функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона.
Общие понятия о приближении функций. Аппроксимирующие функции.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Сплайн-интерполяция.
Полиномиальный интерполяционный сплайн.
Применение сплайнов при решении задач методом конечных элементов.
Приближенное дифференцирование и интегрирование функций.
Приближенное дифференцирование функций.
Приближенное интегрирование функций с помощью формулы Симпсона.
Сглаживание экспериментальных зависимостей. Оценка погрешности решения.
Метод наименьших квадратов.
Погрешности численного решения задач строительной механики.
Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Матричная форма системы линейных уравнений.
Метод Гаусса.
Вычисление определителей и обращение матриц.
Решение систем линейных уравнений методом прогонки.
Метод прогонки для систем уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Метод прогонки для систем уравнений с пятидиагональной матрицей коэффициентов.
Обусловленность матриц коэффициентов систем линейных уравнений.
Характеристика обусловленности матриц.
Способы улучшения обусловленности матриц.
Методы вычисления собственных значений и собственных векторов матриц.
Собственные значения и собственные векторы матриц.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы.
Определение наибольшего и наименьшего собственных значений симметричной матрицы.
Методы решения нелинейных алгебраических, трансцендентных уравнений и их систем.
Метод простой итерации.
Метод Ньютона — Рафсона (метод касательных).
Применение метода простой итерации к решению систем нелинейных уравнений.
Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений методом наискорейшего спуска.
Матричные методы решения задач строительной механики стержневых систем.
Метод сил.
Применение метода сил к расчету плоских стержневых систем.
Применение метода сил к расчету пространственных стержневых систем.
Метод перемещений.
Основы метода перемещений.
Матричный вариант метода перемещений.
Динамический расчет стержневых систем.
Определение частот и форм свободных колебаний.
Расчет на вибрационную нагрузку.
Методы решения начальных и краевых одномерных задач строительной механики.
Методы решения начальных задач.
Метод Эйлера.
Метод Рунге — Кутта.
Применение метода Рунге — Кутта для приближенного решения систем дифференциальных уравнений.
Метод последовательных приближений.
Сведение одномерной краевой задачи к начальной.
Метод начальных параметров.
Метод дополнительных функций.
Применение метода Галеркина для решения одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Применение метода конечных разностей к решению одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Методы решения жестких систем уравнений.
Жесткие системы уравнений в задачах строительной механики.
Применение неявной схемы метода Рунге — Кутта для решения жестких систем уравнений.
Метод решения дифференциальных уравнений, содержащих особенности в виде обобщенных функций Хевисайда и их производных.
Основные положения метода.
Решение дифференциальных уравнений, содержащих производные от обобщенной дельта-функции.
Методы решения многомерных линейных задач строительной механики.
Метод сеток для решения уравнений в частных производных.
Основы построения разностных схем.
Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.
Метод переменных направлений (экономичная разностная схема).
Метод разделения переменных (метод Фурье).
Решение однородных дифференциальных уравнений в частных производных.
Решение краевой задачи в одинарных тригонометрических рядах.
Решение краевой задачи в двойных тригонометрических рядах.
Методы минимизации невязки.
Общие положения метода.
Метод коллокаций.
Интегральный метод наименьших квадратов.
Метод Бубнова—Галеркина.
Метод наилучших произведений.
Методы сведения многомерных краевых задач к одномерным.
Методы прямых.
Метод Власова—Канторовича.
Метод конечных элементов.
Основные положения МКЭ.
Дискретизация конструкций с помощью конечных элементов.
Основное отличие МКЭ от метода перемещений.
Формирование матрицы жесткости конечного элемента на основе принципа возможных перемещений.
Подбор функции перемещений конечного элемента.
Расчет конструкций с применением МКЭ.
Последовательность расчета.
Расчет плоских стержневых систем.
Плоская задача теории упругости.
Применение МКЭ к расчету тонких плит и оболочек.
Расчет тонких прямоугольных плит.
Расчет скошенных плит.
Расчет ребристых плит.
Понятие о расчете оболочек методом конечных элементов.
Применение МКЭ к решению задач динамики и устойчивости строительных конструкций.
Решение задач динамики стержневых систем.
Решение задач устойчивости стержневых систем.
Определение частот свободных колебаний прямоугольных и скошенных плит.
Метод супер элементов.
Основы метода суперэлементов.
Построение матрицы жесткости и матрицы узловых нагрузок для суперэлемента.
Варианты общей схемы конденсации неизвестных в граничных узлах суперэлемента.
Вариационные методы решения задач строительной механики.
Элементы вариационного исчисления.
Функционал и его вариация.
Дифференциальные уравнения Эйлера и Остроградского.
Вариационные уравнения строительной механики.
Полная энергия деформации упругой системы.
Уравнения равновесия упругого тела.
Уравнения геометрически нелинейной теории пологих оболочек.
Уравнения равновесия.
Уравнения движения.
Прямые методы в вариационных задачах.
Общая характеристика прямых методов.
Метод Ритца.
Вариационно-разностный метод.
Метод конечных элементов как частный случай метода Ритца.
Метод Власова — Канторовича.
Сведение задач для уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Метод Власова — Канторовича в форме метода Галеркина.
Метод вариационных итераций.
Метод малого параметра.
Решение нелинейных задач строительной механики.
Представление решения задачи в виде степенных рядов.
Задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой пластинки.
Решение задач статической и динамической устойчивости стержней.
Решение задач на собственные значения.
Задача о динамической устойчивости сжатого стержня.
Методы решения линейных интегральных уравнений. Интегральные преобразования.
Основные виды интегральных уравнений.
Интегральные уравнения Фредгольма.
Интегральные уравнения Вольтерра.
Связь между линейным дифференциальным уравнением и уравнением Вольтерра.
Приближенные методы решения интегральных уравнений.
Решение с помощью резольвенты.
Метод последовательных приближений.
Решение интегральных уравнений методом Бубнова — Галеркина.
Интегральные преобразования.
Основные понятия.
Преобразование Лапласа.
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Решение интегральных уравнений операционным методом.
Преобразование Лапласа — Карсона и его применение в задачах теории вязкоупругости.
Преобразование Фурье.
Методы решения задач строительной механики, основанные на теории потенциала.
Метод потенциалов.
Основные понятия теории потенциала.
Интегральное представление функции.
Свойства потенциалов.
Применение метода потенциалов к решению задач Дирихле и Неймана.
Метод граничных элементов.
Основы метода. Теорема взаимности.
Построение системы уравнений метода.
Решение задачи о плоской деформации.
Выбор контрольных решений.
Вычисление коэффициентов влияния.
Определение усилий и смещений внутри области.
Методы решения нелинейных задач строительной механики.
Методы последовательных приближений.
Метод Ньютона — Канторовича решения операторных уравнений.
Модифицированный метод Ньютона — Канторовича.
Метод продолжения по параметру.
Основные положения метода продолжения по параметру.
Метод последовательных нагружений.
Метод последовательного наращивания ребер.
Методика решения геометрически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек.
Нелинейные задачи статики.
Нелинейные задачи динамики пологих оболочек.
Методы решения физически нелинейных задач.
Основные соотношения физически нелинейной теории упругости.
Плоское напряженное состояние.
Решение физически нелинейной задачи о плоском напряженном состоянии методом малого параметра.
Метод упругих решений.
Применение метода последовательных нагружений к расчету пластинок из нелинейно-упругого материала.
Расчет гибких нитей и мембран.
Статический расчет нити.
Уточненный расчет пологой гибкой нити.
Свободные поперечные колебания гибких нитей.
Свободные поперечные колебания мембраны.
Численные методы оптимизации.
Линейное программирование.
Задачи линейного программирования.
Симплекс-метод.
Нелинейное программирование.
Задачи нелинейного программирования.
Метод наискорейшего спуска (градиентный метод).
Метод покоординатного спуска (релаксационный метод).
Метод множителей Лагранжа.
Геометрическое программирование.
Основные понятия.
Прямая задача геометрического программирования.
Приложения.
Литература.
Предметный указатель.
Приближение функций. Методы приближенного дифференцирования и интегрирования.
Приближение функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона.
Общие понятия о приближении функций. Аппроксимирующие функции.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Сплайн-интерполяция.
Полиномиальный интерполяционный сплайн.
Применение сплайнов при решении задач методом конечных элементов.
Приближенное дифференцирование и интегрирование функций.
Приближенное дифференцирование функций.
Приближенное интегрирование функций с помощью формулы Симпсона.
Сглаживание экспериментальных зависимостей. Оценка погрешности решения.
Метод наименьших квадратов.
Погрешности численного решения задач строительной механики.
Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Матричная форма системы линейных уравнений.
Метод Гаусса.
Вычисление определителей и обращение матриц.
Решение систем линейных уравнений методом прогонки.
Метод прогонки для систем уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Метод прогонки для систем уравнений с пятидиагональной матрицей коэффициентов.
Обусловленность матриц коэффициентов систем линейных уравнений.
Характеристика обусловленности матриц.
Способы улучшения обусловленности матриц.
Методы вычисления собственных значений и собственных векторов матриц.
Собственные значения и собственные векторы матриц.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы.
Определение наибольшего и наименьшего собственных значений симметричной матрицы.
Методы решения нелинейных алгебраических, трансцендентных уравнений и их систем.
Метод простой итерации.
Метод Ньютона — Рафсона (метод касательных).
Применение метода простой итерации к решению систем нелинейных уравнений.
Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений методом наискорейшего спуска.
Матричные методы решения задач строительной механики стержневых систем.
Метод сил.
Применение метода сил к расчету плоских стержневых систем.
Применение метода сил к расчету пространственных стержневых систем.
Метод перемещений.
Основы метода перемещений.
Матричный вариант метода перемещений.
Динамический расчет стержневых систем.
Определение частот и форм свободных колебаний.
Расчет на вибрационную нагрузку.
Методы решения начальных и краевых одномерных задач строительной механики.
Методы решения начальных задач.
Метод Эйлера.
Метод Рунге — Кутта.
Применение метода Рунге — Кутта для приближенного решения систем дифференциальных уравнений.
Метод последовательных приближений.
Сведение одномерной краевой задачи к начальной.
Метод начальных параметров.
Метод дополнительных функций.
Применение метода Галеркина для решения одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Применение метода конечных разностей к решению одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Методы решения жестких систем уравнений.
Жесткие системы уравнений в задачах строительной механики.
Применение неявной схемы метода Рунге — Кутта для решения жестких систем уравнений.
Метод решения дифференциальных уравнений, содержащих особенности в виде обобщенных функций Хевисайда и их производных.
Основные положения метода.
Решение дифференциальных уравнений, содержащих производные от обобщенной дельта-функции.
Методы решения многомерных линейных задач строительной механики.
Метод сеток для решения уравнений в частных производных.
Основы построения разностных схем.
Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.
Метод переменных направлений (экономичная разностная схема).
Метод разделения переменных (метод Фурье).
Решение однородных дифференциальных уравнений в частных производных.
Решение краевой задачи в одинарных тригонометрических рядах.
Решение краевой задачи в двойных тригонометрических рядах.
Методы минимизации невязки.
Общие положения метода.
Метод коллокаций.
Интегральный метод наименьших квадратов.
Метод Бубнова—Галеркина.
Метод наилучших произведений.
Методы сведения многомерных краевых задач к одномерным.
Методы прямых.
Метод Власова—Канторовича.
Метод конечных элементов.
Основные положения МКЭ.
Дискретизация конструкций с помощью конечных элементов.
Основное отличие МКЭ от метода перемещений.
Формирование матрицы жесткости конечного элемента на основе принципа возможных перемещений.
Подбор функции перемещений конечного элемента.
Расчет конструкций с применением МКЭ.
Последовательность расчета.
Расчет плоских стержневых систем.
Плоская задача теории упругости.
Применение МКЭ к расчету тонких плит и оболочек.
Расчет тонких прямоугольных плит.
Расчет скошенных плит.
Расчет ребристых плит.
Понятие о расчете оболочек методом конечных элементов.
Применение МКЭ к решению задач динамики и устойчивости строительных конструкций.
Решение задач динамики стержневых систем.
Решение задач устойчивости стержневых систем.
Определение частот свободных колебаний прямоугольных и скошенных плит.
Метод супер элементов.
Основы метода суперэлементов.
Построение матрицы жесткости и матрицы узловых нагрузок для суперэлемента.
Варианты общей схемы конденсации неизвестных в граничных узлах суперэлемента.
Вариационные методы решения задач строительной механики.
Элементы вариационного исчисления.
Функционал и его вариация.
Дифференциальные уравнения Эйлера и Остроградского.
Вариационные уравнения строительной механики.
Полная энергия деформации упругой системы.
Уравнения равновесия упругого тела.
Уравнения геометрически нелинейной теории пологих оболочек.
Уравнения равновесия.
Уравнения движения.
Прямые методы в вариационных задачах.
Общая характеристика прямых методов.
Метод Ритца.
Вариационно-разностный метод.
Метод конечных элементов как частный случай метода Ритца.
Метод Власова — Канторовича.
Сведение задач для уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Метод Власова — Канторовича в форме метода Галеркина.
Метод вариационных итераций.
Метод малого параметра.
Решение нелинейных задач строительной механики.
Представление решения задачи в виде степенных рядов.
Задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой пластинки.
Решение задач статической и динамической устойчивости стержней.
Решение задач на собственные значения.
Задача о динамической устойчивости сжатого стержня.
Методы решения линейных интегральных уравнений. Интегральные преобразования.
Основные виды интегральных уравнений.
Интегральные уравнения Фредгольма.
Интегральные уравнения Вольтерра.
Связь между линейным дифференциальным уравнением и уравнением Вольтерра.
Приближенные методы решения интегральных уравнений.
Решение с помощью резольвенты.
Метод последовательных приближений.
Решение интегральных уравнений методом Бубнова — Галеркина.
Интегральные преобразования.
Основные понятия.
Преобразование Лапласа.
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Решение интегральных уравнений операционным методом.
Преобразование Лапласа — Карсона и его применение в задачах теории вязкоупругости.
Преобразование Фурье.
Методы решения задач строительной механики, основанные на теории потенциала.
Метод потенциалов.
Основные понятия теории потенциала.
Интегральное представление функции.
Свойства потенциалов.
Применение метода потенциалов к решению задач Дирихле и Неймана.
Метод граничных элементов.
Основы метода. Теорема взаимности.
Построение системы уравнений метода.
Решение задачи о плоской деформации.
Выбор контрольных решений.
Вычисление коэффициентов влияния.
Определение усилий и смещений внутри области.
Методы решения нелинейных задач строительной механики.
Методы последовательных приближений.
Метод Ньютона — Канторовича решения операторных уравнений.
Модифицированный метод Ньютона — Канторовича.
Метод продолжения по параметру.
Основные положения метода продолжения по параметру.
Метод последовательных нагружений.
Метод последовательного наращивания ребер.
Методика решения геометрически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек.
Нелинейные задачи статики.
Нелинейные задачи динамики пологих оболочек.
Методы решения физически нелинейных задач.
Основные соотношения физически нелинейной теории упругости.
Плоское напряженное состояние.
Решение физически нелинейной задачи о плоском напряженном состоянии методом малого параметра.
Метод упругих решений.
Применение метода последовательных нагружений к расчету пластинок из нелинейно-упругого материала.
Расчет гибких нитей и мембран.
Статический расчет нити.
Уточненный расчет пологой гибкой нити.
Свободные поперечные колебания гибких нитей.
Свободные поперечные колебания мембраны.
Численные методы оптимизации.
Линейное программирование.
Задачи линейного программирования.
Симплекс-метод.
Нелинейное программирование.
Задачи нелинейного программирования.
Метод наискорейшего спуска (градиентный метод).
Метод покоординатного спуска (релаксационный метод).
Метод множителей Лагранжа.
Геометрическое программирование.
Основные понятия.
Прямая задача геометрического программирования.
Приложения.
Литература.
Предметный указатель.