М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009. Ч.1 − 122 с. Ч.2 − 114 с.
Пособие отражает содержание первой части лекционного курса
"Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентам
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.
М.В.Ломоносова в соответствии с программой по специальности
"Прикладная математика и информатика".
Оглавление:
Основные понятия.
Понятия о дифференциальных уравнениях.
Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах.
Задача Коши.
Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной.
Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка на всем отрезке.
Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема).
Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общие свойства линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского.
Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения.
Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по его решениям.
Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения.
Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского.
Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы.
Построение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.
Приложение А. Неявные функции и функциональные матрицы.
Теорема о неявных функциях.
Зависимость функций и функциональные матрицы.
Приложение В. Общая теория линейных дифференциальных уравнений с точки зрения систем линейных дифференциальных уравнений.
Связь линейной зависимости скалярных функций и вектор-функций.
Линейная зависимость решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Фундаментальная система решений и общее решение ли нейного однородного дифференциального уравнения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, метод вариации постоянных.
Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Литература. Зависимость решения задачи Коши от исходных данных и параметров.
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных.
Зависимость решения задачи Коши от параметра.
Теория устойчивости.
Основные понятия.
Устойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами.
Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова).
Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова (второй метод Ляпунова).
Классификация точек покоя.
Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка.
Постановка краевых задач.
Функция Грина. Существование решения краевой задачи.
Задача Штурма-Лиувилля.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Первые интегралы нормальной системы.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Основы вариационного исчисления.
Основные понятия вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера.
Необходимые условия экстремума для некоторых функционалов.
Вариационная задача на условный экстремум.
Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.
Приложение. Неявные функции и функциональные матрицы.
Теорема о неявных функциях.
Зависимость функций и функциональные матрицы.
Литература.
Понятия о дифференциальных уравнениях.
Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах.
Задача Коши.
Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной.
Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка на всем отрезке.
Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема).
Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общие свойства линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского.
Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения.
Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по его решениям.
Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения.
Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского.
Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы.
Построение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.
Приложение А. Неявные функции и функциональные матрицы.
Теорема о неявных функциях.
Зависимость функций и функциональные матрицы.
Приложение В. Общая теория линейных дифференциальных уравнений с точки зрения систем линейных дифференциальных уравнений.
Связь линейной зависимости скалярных функций и вектор-функций.
Линейная зависимость решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Фундаментальная система решений и общее решение ли нейного однородного дифференциального уравнения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, метод вариации постоянных.
Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Литература. Зависимость решения задачи Коши от исходных данных и параметров.
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных.
Зависимость решения задачи Коши от параметра.
Теория устойчивости.
Основные понятия.
Устойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами.
Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова).
Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова (второй метод Ляпунова).
Классификация точек покоя.
Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка.
Постановка краевых задач.
Функция Грина. Существование решения краевой задачи.
Задача Штурма-Лиувилля.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Первые интегралы нормальной системы.
Уравнения в частных производных первого порядка.
Основы вариационного исчисления.
Основные понятия вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера.
Необходимые условия экстремума для некоторых функционалов.
Вариационная задача на условный экстремум.
Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.
Приложение. Неявные функции и функциональные матрицы.
Теорема о неявных функциях.
Зависимость функций и функциональные матрицы.
Литература.