Учебное пособие. — Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2014.
- 186 с. ISBN 978-5-7389-1498-0
Пособие соответствует федеральному государственному
образовательному стандарту в области математики для технических
специальностей и технических направлений бакалавриата и
предназначено для студентов университета дневной и заочной форм
обучения. Может быть использовано при изучении курса математики
cтудентами-бакалаврами экономических направлений дневной и заочной
форм обучения.
Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, системы дифференциальных уравнений. Пособие включает введение в теорию устойчивости и численные методы решения дифференциальных уравнений, а также приложение дифференциальных уравнений в задачах технического и экономического характера. Пособие содержит большое количество задач, иллюстрирующих изучаемые темы. Содержание
Предисловие
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида y' = f (ax + by + c)
Понятие о задаче Коши
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородности функций и уравнений
Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Метод Лейбница решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Метод вариации постоянной для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Понятие об уравнении Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения первого порядка
Геометрический смысл дифференциального уравнения уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения вида y(n) = f (x)
Уравнения вида F(x, y', y'') =0
Уравнения вида F(y, y', y'') =0
Геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения второго порядка
Геометрический смысл дифференциального уравнения второго порядка
Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка
Понятие о задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка
Понятие о краевых задачах для дифференциального уравнения второго порядка
Теорема Коши
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Понятие оператора
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения
Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Вронского
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
Механический смысл линейного дифференциального уравнения второго порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Алгоритм общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
Уравнения с правой частью вида f (x) = Pn(x)
Уравнения с правой частью вида f (x) = Pn(x)eax
Уравнения с правой частью вида f (x) = P cos bx + Q sin bx
Уравнения с правой частью вида f (x) = eax(Pn (x) cos bx + Qmx sin bx)
Метод вариации постоянных
Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия
Геометрический смысл решения системы
Механический смысл решения системы
Понятие о первых интегралах
Переход от нормальной системы уравнений к уравнению высшего порядка
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод исключения неизвестных для решения линейной однородной системы
Метод собственник значений и собственник векторов для решения линейной однородной системы
Понятие об алгоритме метода
Случай действительных различных корней
Случай комплексных различных корней
Случай действительных кратных корней
Понятие об устойчивости автономных систем дифференциальных уравнений
Элементарное введение в численные методы решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Исправленный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера
Приложения дифференциальных уравнений
Библиографический список
Предметный указатель
Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, системы дифференциальных уравнений. Пособие включает введение в теорию устойчивости и численные методы решения дифференциальных уравнений, а также приложение дифференциальных уравнений в задачах технического и экономического характера. Пособие содержит большое количество задач, иллюстрирующих изучаемые темы. Содержание
Предисловие
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида y' = f (ax + by + c)
Понятие о задаче Коши
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородности функций и уравнений
Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Метод Лейбница решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Метод вариации постоянной для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Понятие об уравнении Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения первого порядка
Геометрический смысл дифференциального уравнения уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения вида y(n) = f (x)
Уравнения вида F(x, y', y'') =0
Уравнения вида F(y, y', y'') =0
Геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения второго порядка
Геометрический смысл дифференциального уравнения второго порядка
Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка
Понятие о задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка
Понятие о краевых задачах для дифференциального уравнения второго порядка
Теорема Коши
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Понятие оператора
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения
Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Вронского
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
Механический смысл линейного дифференциального уравнения второго порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Алгоритм общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
Уравнения с правой частью вида f (x) = Pn(x)
Уравнения с правой частью вида f (x) = Pn(x)eax
Уравнения с правой частью вида f (x) = P cos bx + Q sin bx
Уравнения с правой частью вида f (x) = eax(Pn (x) cos bx + Qmx sin bx)
Метод вариации постоянных
Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия
Геометрический смысл решения системы
Механический смысл решения системы
Понятие о первых интегралах
Переход от нормальной системы уравнений к уравнению высшего порядка
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод исключения неизвестных для решения линейной однородной системы
Метод собственник значений и собственник векторов для решения линейной однородной системы
Понятие об алгоритме метода
Случай действительных различных корней
Случай комплексных различных корней
Случай действительных кратных корней
Понятие об устойчивости автономных систем дифференциальных уравнений
Элементарное введение в численные методы решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Исправленный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера
Приложения дифференциальных уравнений
Библиографический список
Предметный указатель