М.: Мир, 1965. — 276 с.
Авторы книги, известные американские математики, уже знакомы
советскому читателю: Э. Беккенбах - по сборнику "Математика для
инженеров", Р. Беллман - по книгам "Теория устойчивости решений
дифференциальных уравнений", "Динамическое программирование" и др.
Основное содержание их новой книги составляют неравенства,
установленные за последние годы и относящиеся к различным разделам
математики (матричная алгебра, теория операторов и т. д.). Особый
интерес представляет описание новых функционально-аналитических
методов поисков и доказательств неравенств.
Систематичность изложения и насыщенность конкретным материалом позволяют использовать книгу как своеобразный справочник для математиков различных специальностей, а также для механиков, физиков и инженеров-исследователей.
Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам математических и физических факультетов университетов, пединститутов и технических вузов, а также работникам вычислительных центров. Предисловие к русскому изданию
Предисловие
Основные неравенства и родственные вопросы
Введение
Неравенство Коши
Тождество Лагранжа
Неравенство между арифметическим и геометрическим средними
Индукция вверх и вниз
Анализ и множители Лагранжа
Функциональные уравнения
Вогнутость
Мажоризация - доказательство Бора
Доказательство Гурвица
Доказательство Элерса
Арифметико-геометрическое среднее Гаусса. Элементарные симметрические функции
Доказательство Якобсталя
Одно фундаментальное соотношение
Неравенство Юнга
Средние Мt (х, а) и суммы St (х)
Неравенства Гёльдера и Минковского
Обобщения классических неравенств
Квазилинеаризация
Неравенство Минковского
Другое неравенство Минковского
Неравенство Минковского для 0<р<1
Неравенство Беккенбаха
Неравенство Дрешера
Неравенство Минковского – Малера
Квазилинеаризация выпуклых и вогнутых функций
Другой тип квазилинеаризации
Неравенство Карамата
Преобразование Шура
Доказательство неравенства Карамата
Неравенство Островского
Континуальные аналоги
Симметрические функции
Еще одно неравенство
Некоторые результаты Уайтли
Гиперболические многочлены
Неравенство Гординга
Примеры гиперболических многочленов
Пространства Лоренца
Обратные неравенства
Пространство Lp
Многомерный случай
Обобщения Фавара – Бервальда
Другие обращения теоремы Коши
Уточнения неравенств Коши - Буняковекого - Шварца
Теорема Мора и Нолли
Вывод новых неравенств из старых
Уточнение неравенства между арифметическим и геометрическим средними
Неравенства с чередующимися знаками
Неравенство Стеффенсена
Неравенство Брунка – Олкина
Обобщения неравенства Стеффенсена
Библиография и дополнения
Положительно определенные матрицы, характеристические числа и положительн ые матрицы
Введение
Положительно определенные матрицы
Необходимое условие положительной определенности
Представление в виде суммы квадратов
Необходимое и достаточное условие положительной определенности
Определители Грама
Вычисление одного несобственного интеграла
Комплексные матрицы с положительно определенной вещественной частью
Одна теорема о вогнутости
Неравенство, относящееся к минорам
Неравенство Адамара
Неравенство Сасса
Теорема о представлении определителя эрмитовой матрицы
Следствия
Интегралы Ингама - Зигеля и их обобщения
Групповая инвариантность и формулы представления
Неравенство Бергстрома
Одно обобщение
Каноническая форма
Обобщение неравенства Бергстрома
Теорема представления для │A│1/n
Одно неравенство Минковского
Обобщение, принадлежащее Фань Цзы
Обобщение, принадлежащее Оппенгейму
Отношение Рэлея
Минимакс-теорема Фишера
Еще одна теорема представления
Одно неравенство Фань Цзы
Аддитивный аналог
Результаты, относящиеся к характеристическим числам А, АА* и (А+А*)/2
Теорема разделения Коши – Пуанкаре
Одно неравенство для λnλn-1 . λk
Обсуждение
Аддитивное неравенство
Мультипликативное неравенство, вытекающее из аддитивного
Дальнейшие результаты
Составные или присоединенные матрицы
Положительные матрицы
Вариационная характеристика р(А)
Другая форма для р(А)
Некоторые следствия
Входные-выходные (input-output) матрицы
Обсуждение
Добавления
Матрицы и гиперболические уравнения
Определители, не обращающиеся в нуль, и распределение характеристических чисел
Монотонные матричные функции в смысле Лёвнера
Преобразование, уменьшающее число перемен знака
Области положительности
Библиография и дополнения
Пространства моментов и резонансные теоремы
Введение
Моменты
Выпуклость
Примеры выпуклых пространств
Примеры невыпуклых пространств
К определению выпуклых множеств
Пространство Lp. Результат Ф. Рисса
Ограниченная вариация
Положительность
Представление через квадраты
Неотрицательные тригонометрические и рациональные полиномы
Положительно определенные квадратичные формы и моментные последовательности
Исторические замечания
Положительно определенные последовательности
Положительно определенные функции
Воспроизводящие ядра
Невыпуклые пространства
«Резонансные» теоремы Ландау
Теорема Банаха – Штейнгауза
Теорема Минковского
Теория линейных неравенств
Обобщения
Теорема фон Неймана о минимаксе
Лемма Неймана – Пиреона
Ортогональные проекции
Эквивалентность процессов минимизации и максимизации
Библиография и дополнении
Положительные операторы
Введение
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Обсуждение
Фундаментальный результат теории устойчивости
Неравенства Бихари и Лангенхопа
Матричные аналогии
Доказательства Тауски
Переменные матрицы
Обсуждение
Результат Чаплыгина
Конечные интервалы
Вариационное доказательство
Обсуждение
Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка
Положительность линейных дифференциальных операторов высших порядков
Некоторые результаты Пойа
Обобщенная выпуклость
Обсуждение
Обобщенная теорема о среднем Гартмана и Винтнера
Обобщенное разложение Тейлора
Положительность операторов
Эллиптические уравнения
Положительные воспроизводящие ядра
Монотонность средних значений
Положительность параболических операторов
Конечно-разностные схемы
Уравнение потенциала
Обсуждение
Неравенства Хаара - Вестфаля - Проди
Некоторые неравенства Вендроффа
Результаты Вейнбергера – Бохнера
Преобразования, понижающие число перемен знака
Квазилинеаризация
Устойчивость операторов
Различные результаты
Библиография и дополнения
Неравенства для дифференциальных операторов
Введение
Некоторые неравенства Секефальви-Надя
Неравенства, связывающие u, u', u"
Неравенство для u, u(k) и u(n)
Другие неравенства для u, u', u"
Неравенство Гальперина и фон Неймана и его обобщения
Аналоги результатов Секефальви-Надя
Неравенство Карлсона
Обобщения неравенства Карлсона
Неравенство Виртингера и связанные с ним результаты
Доказательство с помощью рядов Фурье
Теория Штурма – Лиувилля
Интегральные тождества
Результаты Колаутти
Дифференциальные уравнения в частных производных
Использование матриц
Высшие производные и высшие степени
Дискретные аналоги Фаня, Тауски и Тодда
Дискретный случай. Вторые разности
Дискретный вариант неравенства Норткотта - Беллмана
Обсуждение
Библиография и дополнения
Именной указатель
Предметный указатель
Систематичность изложения и насыщенность конкретным материалом позволяют использовать книгу как своеобразный справочник для математиков различных специальностей, а также для механиков, физиков и инженеров-исследователей.
Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам математических и физических факультетов университетов, пединститутов и технических вузов, а также работникам вычислительных центров. Предисловие к русскому изданию
Предисловие
Основные неравенства и родственные вопросы
Введение
Неравенство Коши
Тождество Лагранжа
Неравенство между арифметическим и геометрическим средними
Индукция вверх и вниз
Анализ и множители Лагранжа
Функциональные уравнения
Вогнутость
Мажоризация - доказательство Бора
Доказательство Гурвица
Доказательство Элерса
Арифметико-геометрическое среднее Гаусса. Элементарные симметрические функции
Доказательство Якобсталя
Одно фундаментальное соотношение
Неравенство Юнга
Средние Мt (х, а) и суммы St (х)
Неравенства Гёльдера и Минковского
Обобщения классических неравенств
Квазилинеаризация
Неравенство Минковского
Другое неравенство Минковского
Неравенство Минковского для 0<р<1
Неравенство Беккенбаха
Неравенство Дрешера
Неравенство Минковского – Малера
Квазилинеаризация выпуклых и вогнутых функций
Другой тип квазилинеаризации
Неравенство Карамата
Преобразование Шура
Доказательство неравенства Карамата
Неравенство Островского
Континуальные аналоги
Симметрические функции
Еще одно неравенство
Некоторые результаты Уайтли
Гиперболические многочлены
Неравенство Гординга
Примеры гиперболических многочленов
Пространства Лоренца
Обратные неравенства
Пространство Lp
Многомерный случай
Обобщения Фавара – Бервальда
Другие обращения теоремы Коши
Уточнения неравенств Коши - Буняковекого - Шварца
Теорема Мора и Нолли
Вывод новых неравенств из старых
Уточнение неравенства между арифметическим и геометрическим средними
Неравенства с чередующимися знаками
Неравенство Стеффенсена
Неравенство Брунка – Олкина
Обобщения неравенства Стеффенсена
Библиография и дополнения
Положительно определенные матрицы, характеристические числа и положительн ые матрицы
Введение
Положительно определенные матрицы
Необходимое условие положительной определенности
Представление в виде суммы квадратов
Необходимое и достаточное условие положительной определенности
Определители Грама
Вычисление одного несобственного интеграла
Комплексные матрицы с положительно определенной вещественной частью
Одна теорема о вогнутости
Неравенство, относящееся к минорам
Неравенство Адамара
Неравенство Сасса
Теорема о представлении определителя эрмитовой матрицы
Следствия
Интегралы Ингама - Зигеля и их обобщения
Групповая инвариантность и формулы представления
Неравенство Бергстрома
Одно обобщение
Каноническая форма
Обобщение неравенства Бергстрома
Теорема представления для │A│1/n
Одно неравенство Минковского
Обобщение, принадлежащее Фань Цзы
Обобщение, принадлежащее Оппенгейму
Отношение Рэлея
Минимакс-теорема Фишера
Еще одна теорема представления
Одно неравенство Фань Цзы
Аддитивный аналог
Результаты, относящиеся к характеристическим числам А, АА* и (А+А*)/2
Теорема разделения Коши – Пуанкаре
Одно неравенство для λnλn-1 . λk
Обсуждение
Аддитивное неравенство
Мультипликативное неравенство, вытекающее из аддитивного
Дальнейшие результаты
Составные или присоединенные матрицы
Положительные матрицы
Вариационная характеристика р(А)
Другая форма для р(А)
Некоторые следствия
Входные-выходные (input-output) матрицы
Обсуждение
Добавления
Матрицы и гиперболические уравнения
Определители, не обращающиеся в нуль, и распределение характеристических чисел
Монотонные матричные функции в смысле Лёвнера
Преобразование, уменьшающее число перемен знака
Области положительности
Библиография и дополнения
Пространства моментов и резонансные теоремы
Введение
Моменты
Выпуклость
Примеры выпуклых пространств
Примеры невыпуклых пространств
К определению выпуклых множеств
Пространство Lp. Результат Ф. Рисса
Ограниченная вариация
Положительность
Представление через квадраты
Неотрицательные тригонометрические и рациональные полиномы
Положительно определенные квадратичные формы и моментные последовательности
Исторические замечания
Положительно определенные последовательности
Положительно определенные функции
Воспроизводящие ядра
Невыпуклые пространства
«Резонансные» теоремы Ландау
Теорема Банаха – Штейнгауза
Теорема Минковского
Теория линейных неравенств
Обобщения
Теорема фон Неймана о минимаксе
Лемма Неймана – Пиреона
Ортогональные проекции
Эквивалентность процессов минимизации и максимизации
Библиография и дополнении
Положительные операторы
Введение
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Обсуждение
Фундаментальный результат теории устойчивости
Неравенства Бихари и Лангенхопа
Матричные аналогии
Доказательства Тауски
Переменные матрицы
Обсуждение
Результат Чаплыгина
Конечные интервалы
Вариационное доказательство
Обсуждение
Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка
Положительность линейных дифференциальных операторов высших порядков
Некоторые результаты Пойа
Обобщенная выпуклость
Обсуждение
Обобщенная теорема о среднем Гартмана и Винтнера
Обобщенное разложение Тейлора
Положительность операторов
Эллиптические уравнения
Положительные воспроизводящие ядра
Монотонность средних значений
Положительность параболических операторов
Конечно-разностные схемы
Уравнение потенциала
Обсуждение
Неравенства Хаара - Вестфаля - Проди
Некоторые неравенства Вендроффа
Результаты Вейнбергера – Бохнера
Преобразования, понижающие число перемен знака
Квазилинеаризация
Устойчивость операторов
Различные результаты
Библиография и дополнения
Неравенства для дифференциальных операторов
Введение
Некоторые неравенства Секефальви-Надя
Неравенства, связывающие u, u', u"
Неравенство для u, u(k) и u(n)
Другие неравенства для u, u', u"
Неравенство Гальперина и фон Неймана и его обобщения
Аналоги результатов Секефальви-Надя
Неравенство Карлсона
Обобщения неравенства Карлсона
Неравенство Виртингера и связанные с ним результаты
Доказательство с помощью рядов Фурье
Теория Штурма – Лиувилля
Интегральные тождества
Результаты Колаутти
Дифференциальные уравнения в частных производных
Использование матриц
Высшие производные и высшие степени
Дискретные аналоги Фаня, Тауски и Тодда
Дискретный случай. Вторые разности
Дискретный вариант неравенства Норткотта - Беллмана
Обсуждение
Библиография и дополнения
Именной указатель
Предметный указатель